Calculer la somme pour tout de . Déterminer son rayon de convergence . 2. ∑ 1. nxn ++ 11

PanaMaths Janvier 2008

On considère la série entière de la variable réelle :

2 0

1 1

n n

n x

n

+∞

=

+ +

∑

1. Déterminer son rayon de convergence R.

2. Calculer la somme pour tout x de

^⎤_⎦

− R R ;

^⎡_⎣

.

Analyse

La première question ne pose pas de problème particulier. Pour la deuxième, on fait apparaître des développements « classiques » en transformant

2 1

1 n

n + + .

Résolution

Question 1

On peut appliquer ici la règle de D’Alembert. En notant :

2 1

n 1 a n

n

= +

+ , il vient :

( )

( )

2

2 2

1

2 2 2

1 1

1 1 2 2 1 2 2 1

lim lim lim lim 1

1 2 1 1 2

1

n

n n n n

n

n

a n n n n n n n

n

a n n n n

n

+

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+ +

+ + ⎛ + + + ⎞ ⎛ + + + ⎞

= + = ⎜⎝ + × + ⎟⎠= ⎜⎝ + × + ⎟⎠= +

On en déduit alors : 1 1 1 R= = .

1 R=

Question 2

On a :

( ) ( ) ( )

2 1 1 1 1 1 2 2

1 1 1 1 1

n n n n n n

n n

n n n n

+ − + + − + +

+ = = = − +

+ + + +

PanaMaths Janvier 2008

On aurait également pu remarquer : ^{n2+ =1}

(

^{n2− + =1}

)

²

⁽

ⁿ⁺¹

⁾⁽

^{n− +1}

⁾

^2.

Or, pour tout x de

]

^{− +1 ; 1}

[

^{, on a :}

2

0 0 0 0 0

1 2 1

1 2

1 1 1

n n n n n

n n n n n

n x n x nx x x

n n n

+∞ +∞ +∞ +∞ +∞

= = = = =

+ = ⎛⎜ − + ⎞⎟ = − +

+ ⎝ + ⎠ +

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Posons alors, pour tout x de

]

^{− +1 ; 1}

[

^:

( )

0

1 1

n n

f x x

x

+∞

=

= =

∑

− ^.

Il vient :

( ) ( )

( )

1

2

0 1 1 0

1 ' 1

1

n n n n

n n n n

nx nx x nx x n x xf x x

x

+∞ +∞ +∞ +∞

−

= = = =

= = = + = = ×

∑ ∑ ∑ ∑

−

Pour x≠0, on a aussi : ¹

0 0

1 1 1

1 1

n n

n n

x x

n x n

+∞ +∞

+

= =

+ = +

∑ ∑

^.

Posons alors :

( )

¹

0

1 1

n n

g x x

n

+∞ +

=

=

∑

+ . On en tire :

( ) ( )

0

' 1

1

n n

g x x f x

x

+∞

=

= = =

∑

− ^. En tenant compte de ^g

( )

^{0 =0}, on obtient finalement : ^{g x}

( )

^{= −ln 1}

(

^−x

)

^.

Il vient enfin :

( ) ( )

( ) ( )

2

0 0 0 0

2

2

1 1

1 2 1

1 2

1 ln 1 1

2 1 ln 1 2 1

n n n n

n n n n

n x nx x x

n n

x x

x x x

x x x x

+∞ +∞ +∞ +∞

= = = =

+ = − +

+ +

= − − −

− −

− −

= −

−

∑ ∑ ∑ ∑

Finalement :

] [ { }

( ) ( )

2

2 0

1 2 1 ln 1 1 ; 1 \ 0 , 2

1 1

n n

n x x

x x

n x x

+∞

=

+ − −

∀ ∈ − + = −

+ −

∑

Pour x=0, la somme est nulle.

Résultat final

Pour x=0,

2

0

1 0

1

n n

n x

n

+∞

=

+ =

∑

+

] [ { }

( )

( )

2

2 0

1 2 1 ln 1 1 ; 1 \ 0 , 2

1 1

n n

n x x

x x

n x x

+∞

=

+ − −

∀ ∈ − + = −

+ −

∑