ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 4 - durée : 4h 9 février 2013 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Exercice I.
1. Qu'est-ce qu'une matrice triangulaire inférieure ? 2. Quand dit-on que 2matrices commutent ? 3. Soit les matricesA=
4 2
−1 5
etB =
−3 1
−2 2
. Calculer explicitement M = (A−B)2+ 2AB. 4. Déterminer toutes les matrices de M2(R) qui commutent avec la matriceC=
1 0 1 1
. Exercice II.
1. Justier la convergence de la série correspondante, puis calculer la somme S =
+∞
X
n=1
4(n+ 1) 3n . 2. Créer un programme turbopascal qui calcule
100
X
n=1
4(n+ 1) 3n . Exercice III.
1. Quand dit-on qu'une série est absolument convergente ? 2. Calculer
(−1)nln(n) n2
, pour n∈N∗. 3. Montrer que ∃N ∈N∗
∀n≥N,
(−1)nln(n) n2
≤ 1 n1.5.
4. Conclure quant à la nature de la série de terme général (−1)nln(n)
n2 , en détaillant précisément le raisonnement.
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Exercice IV.
Partie A.
1. Montrer que ∀k∈N∗, 1
k(k+ 1) = 1 k − 1
k+ 1. 2. Pour n∈N\{0; 1}, calculer alors et simplier Sn=
n
X
k=2
1 k(k+ 1). 3. En déduire que la série X
k≥2
1
k(k+ 1) est convergente, et vérier que sa somme vaut 1 2. Partie B.
Un joueur joue au jeu suivant :
Il eectue des tirages dans une urne jusqu'à obtenir une boule bleue.
Lorsqu'il obtient la boule bleue, il gagne la partie, et celle-ci s'arrête.
L'urne contient initialement une boule bleue et deux boules rouges.
A chaque tirage d'une boule rouge par le joueur, celle-ci est remise dans l'urne, accompagnée d'une nouvelle boule rouge (le nombre de boules rouges dans l'urne augmente donc d'une unité).
> L'objectif est de calculer la probabilité que le jeu se termine.
Pour k∈N∗, on pose Bk="leke tirage donne une boule bleue", et Rk=Bk. On pose aussi, pour n∈N∗, An="le joueur remporte la partie à l'issue du ne tirage".
Les calculs eectués par la suite devront être justiés, et les formules littérales devront apparaître.
1. Pour n∈N∗, exprimer An en fonction desBk et desRk, où 1≤k≤n. 2. Calculer P(An), et montrer qu'après simplication, on a P(An) = 2
(n+ 1)(n+ 2). 3. Décrire par une phrase simple l'évènement E =
+∞
[
n=1
An.
4. Calculer sa probabilité. (On pourra se servir de l'étude eectuée dans la Partie A.) 5. Le jeu se termine-t-il ? Justier.
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Exercice V.
Partie A.
Deux joueurs AetB se partagent un capital deK e, oùK ∈Nest xé.
Le capital de départ deA est dene, avec n∈N(et donc celui de B deK−n e).
Ils jouent plusieurs parties d'un jeu, et à chaque partie, le perdant donne 1e au gagnant.
Le jeu se poursuit jusqu'à ce que l'un des deux joueurs soit ruiné.
On suppose que sur une partie donnée : A gagne avec probabilitép∈1
2; 1
et B avec probabilitéq= 1−p
> L'objectif est de calculer la probabilité que le jeu se termine.
On pose :
Pour m∈N∗, Em ="Lame partie est gagnée par A" et Fm =Em.
Pour n∈N, An="A, partant avec un capital initial de ne, ruineB", et un=P(An). 1. Expliquer brièvement pourquoi u0 = 0 etuK = 1.
2. En décomposant suivant le résultat du premier lancer, et en utilisant la formule des probabilités totales, exprimerun en fonction deun+1 etun−1, pour n∈[[1;K−1]].
3. En déduire que ∀n∈[[0;K−2]], un+2−1
pun+1+q
pun= 0. 4. Quelle est la nature de la suite (un)0≤n≤K?
5. Montrer qu'il existe deux réels α etβ tels que ∀n∈[[0;K]], un=α+β q
p n
.
6. Déterminerαetβà l'aide des conditions aux limitesu0 etuK, et en déduire que un= 1−
q p
n
1− q
p K. 7. Sans refaire tous les calculs, mais en expliquant votre raisonnement, donner la probabilitéwn queB
ruine A. (A partant toujours d'un capital de ne, et B deK−n e.) 8. Le jeu se termine-t-il ? Justier.
Partie B.
Le joueurA, disposant toujours d'un capital dene, joue cette fois-ci contre un casino, dont on supposera pour simplier que le capital est inniment grand (ce qui n'est pas une hypothèse tellement surréaliste).
On suppose toujours que la probabilité de gagner du joueur A sur une partie estp >1
2, et queq = 1−p. 1. Déterminer, en justiant, lim
K→+∞
q p
n
−
q p
K
1−
q p
K .
On admet pour la suite de l'exercice que le joueurAnit ruiné avec la probabilité rn=
1−p p
n
. 2. Calculer lim
n→+∞rn.
3. Interpréter le résultat précédent.
4. Application numérique : On donne ln(2)'0.7, et ln(10)'2.3 On suppose que le joueur gagne les deux tiers des parties qu'il dispute.
Quel est le capital minimal n dont il doit disposer pour jouer, an que son risque de ruine rn soit inférieur à1%?
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Questions supplémentaires.
1. J'ai devant moi8enveloppes adressées, et les8lettres adressées correspondantes. Je range au hasard les 8lettres, une dans chaque enveloppe.
Quelle est la probabilité qu'au moins 7 lettres soient bien rangées ? Justier.
2. Si vous choisissez au hasard l'une des réponses ci-dessous, quelle est la probabilité (ici exprimée en
%) que votre réponse à cette question soit correcte : a. 37.5 %,
b. 12.5 %, c. 37.5 %, d. 25 %,
e. 0 %, f. 12.5 %, g. 37.5 %,
h. autre réponse ? Justier.
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