Solution de Paul Voyer Q1

A373. Les nombres en or

On note φ le nombre d'or qui est la plus grande racine réelle de l'équation x² − x − 1 = 0.

Un entier naturel n est dit nombre en or s'il existe : - deux entiers naturels p et q,

- p + q + 1 entiers ap, ap-1, ...a1 ,a0 ,a-1, a-2, ....a-q+1, a-q ne prenant que les valeurs 0 et 1 tels que:

n = ap.φ^p + ap-1.φ^p-1 + ....+ a₁.φ + a₀ + a-1. φ^-1 + ...+a-q.φ^-q =



a



Par exemple l'entier 1 est un nombre en or car on peut écrire 1 = φ-1 + φ-2 avec ai = 0 pour ≥ 0, a-1 = a-2= 1.

Q1 Montrer que les entiers 2 et 3 sont des nombres en or et en donner une représentation en or.

Q2 Trouver une représentation en or des entiers 2018 et 2019.

Q3 Démontrer que tous les entiers naturels admettent une représentation en or.

Solution de Paul Voyer Q1

4

5 2 6 5 2 2 2

1 5 2

5 2 1

2

2

    





 

 

 











représenté 10,01

4

5 2 6 5 2 6 2

1 5 2

5 3 1

2 2

2

2

  

 





 

 

 





 

  









représenté 100,01

Q2

2018 = 1010010000010100,0101000000100001 2019 = 1010010000010101,0101000000100001 Obtenus par l'automate de

http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/phigits.html

Q3

Comme 1   ²   , 

 

 

, etc…

Pour tout n = 1+1+1… (n fois), on peut remplacer 1 par ²   ,  par  ³   ² , etc…

en tant que de besoin, jusqu'à l'unicité des coefficients de chaque puissance de  .