Représentation des nombres entiers signés

(1)

Eduardo Sanchez

Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne

Représentation des nombres entiers

(2)

Représentation des nombres entiers signés

♦ Représentation signe-magnitude:

Le bit de poids fort indique le signe (0 si positif) et les bits restants la valeur du nombre.

Avec n bits on peut représenter des entiers entre:

-(2^n-1-1) et +(2^n-1-1)

Deux représentations sont possibles pour zéro

♦ Exemple avec n=4:

5 = 0101 -5 = 1101 0 = 0000 = 1000

signe

magnitude

(3)

♦ Exemples d'opérations arithmétiques (avec n=4):

5 0101 +3 0011 8 1000

résultat faux (0):

dépassement de capacité

5 0101 -3 1011 2 0000

résultat faux (0)

la soustraction devrait pouvoir être traitée comme une addition:

5 - 3 = 5 + (-3)

(4)

♦ Représentation complément à deux:

Le complément à deux d’un nombre est égal à l'inverse du nombre plus 1. Par exemple, le complément à deux de

0101 est (1010+1)=1011

♦ Dans ce système, un nombre négatif est le complément à deux du même nombre positif. Le bit de poids fort d'un nombre négatif est égal à 1

♦ Avec n bits on peut représenter des entiers entre:

-(2^n-1) et +(2^n-1-1)

♦ Une seule représentation est possible pour zéro

x

n−1

x

ⁿ⁻²^...

x

⁰ ⁼

− x

ⁿ⁻¹^⋅

2

ⁿ⁻¹⁺

x

ⁱ

i=0 n−2

∑

^⋅

2

ⁱ

(5)

complément

à 2 0

+2^n-1

-2^n-1

non signé 2^n-1

2ⁿ

0

(6)

♦ Exemple avec n=4:

♦ Si n=4:

5 = 0101 -5 = 1011 3 = 0011 -3 = 1101 8 = impossible -8 = 1000

0 = 0000

signe

-8 -7 0 7 8

signe-magnitude

-8 -7 0 7 8

complément à 2

(7)

-1 -7

15 1111

-2 -6

14 1110

-3 -5

13 1101

-4 -4

12 1100

-5 -3

11 1011

-6 -2

10 1010

-7 -1

9 1001

-8 0

8 1000

7 7

7 0111

6 6

6 0110

5 5

5 0101

4 4

4 0100

3 3

3 0011

2 2

2 0010

1 1

1 0001

0 0

0 0000

complément à 2 signe-

magnitude non signé

(8)

♦ Exemples d'opérations arithmétiques (avec n=4):

5 0101 +3 0011 8 1000

résultat faux (-8):

dépassement de capacité

5 0101 -3 1101 2 0010

résultat correct

la soustraction peut être traitée comme une addition:

5 - 3 = 5 + (-3)

(9)

♦ Les opérations d'addition et de soustraction sont simplifiées en complément à deux:

A - B A + B

B = B+1

Z = A+B

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♦ Traitement du dépassement de capacité pour une addition:

• si les deux opérandes sont du même signe:

dépassement si le résultat est du signe opposé

• si les deux opérandes sont de signe opposé:

il n'y a jamais de dépassement de capacité

♦ Plus formellement, pour des nombres n bits, signés en complément à 2:

overflow = cⁿ ⊕ c^n-1

♦ Exemple:

0111 5 0101 +3 +0011 8 1000

carry

ov = cⁿ ⊕ c^n-1= 0 ⊕ 1 = 1

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♦ Si nous avons deux entiers signés, x et y, en format

complément à 2 sur n bits, leur addition présente 3 cas:

• si x+y ≥ 2^n-1, il y a un dépassement de capacité positif

• si -2^n-1 ≤ x+y < 2^n-1, le résultat est correct

• si x+y < -2^n-1, il y a un dépassement de capacité négatif

♦ Pour n=4, les résultats possibles de l'addition de deux nombres signés sont illustrés par la figure suivante

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-8 -6

-4 -2 -6

-4 -2

0 2

4 6

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

dépassement positif

dépassement négatif

résultat correct

(13)

♦ Extension de signe:

Si l'on veut passer un entier signé x d'un format n bits vers un format n+k bits, en gardant la même valeur, il suffit de

faire une extension de signe: le bit de signe est répété sur les nouveaux k bits de poids fort

…

… …

n

n k