Représentation des nombres en machine

Représentation des nombres

en machine

Marie Pierrot – Lycée Saint Charles

Écritures des nombres

Pour ecrire des nombres on utilise des symboles.

En base dix que nous connaissons bien, nous utilisons les dix chiffres qui sont les signes :

0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 et 9 Par exemple :

5 8 2

Ecritures des nombres

Pour ecrire des nombres on utilise des symboles.

En base dix que nous connaissons bien, nous utilisons les dix chiffres qui sont les signes :

0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 et 9

5 8 2

5 * 100

5 * 10

8 * 10 8 * 10

+ + 2 * 1

2 * 10

L’addition, à la main...

Méthode d'addition avec un boulier chinois Micmaths : les machines à calculer

Écritures des nombres :

exemple des Babyloniens

Écritures des nombres : exemple des Babyloniens

Avec seulement 2 symboles :

Ecritures des nombres : exemple des Babyloniens

Comment écriraient-ils 582 ?

Ecritures des nombres : exemple des Babyloniens

Comment écriraient-ils 582 ?

Écriture des nombres : exemple des Babyloniens

Comment écriraient-ils 582 ?

9 x 60 + …. 42

Combien de signaux différents ?

1°) En utilisant les modes « allumée » ou « éteinte » de trois lampes…

Combien de messages différents peut-on faire passer ?

Salomé et Régis habitent dans des immeubles se faisant face, ils ont l’habitude de s’envoyer des messages en utilisant l’éclairage de leurs chambres...

2°) S’ils disposaient de quatre lampes au lieu de trois comment évoluerait le nombre de messages à leur

disposition ?

Différentes bases de représentation des nombres

En base 2 on ne dispose que de deux symboles : 0 ou 1.

si

1 1 1 …...représente la quantité 7

(exprimé en décimal) 0 0 0 …...représente la quantité 0

0 0 1 …….représente la quantité 1

Quels agencements de « 0 » et de « 1 » représenteront les

nombres décimaux 2, 3, 4, 5, 6 … ?

Différentes bases de représentation des nombres

En base 3 on dispose que de trois symboles :

« 0 » « 1 » « 2 »

Écrire dans l’ordre croissant les quantités que l’on peut former

avec deux chiffres

Des additions dans différentes bases :

Effectuer les additions suivantes « à la main » :

En base 10 : En base 5 : En base 2 :

8 9 2 1 7 4 2 0 1 3 1 0 0 1 1 0 + 6 5 9 4 + 2 1 4 3 3 + 0 1 1 1 0 1 ____________ _____________ ______________

= = =

Et l’hexadécimal ?

En hexadécimal on dispose de 16 symboles :

« 0 » « 1 » « 2 » « 3 » « 4 » « 5 » « 6 » « 7 » « 8 » « 9 »

« A » « B » « C » « D » « E » « F » Comment s’écrit 10

en hexadécimal ? Comment s’écrit 17

?

Comment s’écrit 123

?

Exemple :

Représentation Signes utilisés Le même entier

Binaire 0 ; 1 1111011

Ternaire 0 ; 1 ; 2 11120

Octal 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 173

Décimal 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ;

8 ; 9 123

Hexadecimal 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ;

8 ; 9 ; A ; B ; C ; D ; E ; F 7B

Comment trouver l’écriture en binaire d’un nombre decimal

123=1 ×10² + 2 ×10¹+ 3 ×10⁰

123_{en décimal} =1111011_{en binaire}

123=1 ×2⁶+ 1× 2⁵+1 × 2⁴ +1×2³+ 0 × 2² +1 × 2¹+ 1× 2⁰

Comment trouver l’écriture en binaire d’un nombre decimal

123=1 ×10² + 2 ×10¹+ 3 ×10⁰

123_{en décimal} =1111011_{en binaire}

123=1 ×2⁶+ 1× 2⁵+1 × 2⁴ +1×2³+ 0 × 2² +1 × 2¹+ 1× 2⁰

Comment détermine-t’on

l’écriture en ternaire

de 123 ?

Conversions

Exercice 6 :

Convertir les nombres 861

et 1024

en binaire : Exercice 7 :

Convertir les nombres 100000

et 101110101

en décimal : Exercice 8 :

En utilisant le même type de méthode qu’à l’exercice n°6 : - Convertir 123

en ternaire :

- Convertir 123

en octal : Exercice 9 :

Convertir les nombres 321

et 177

en décimal :

Codage de l’information

Généralités

Quelle que soit la nature de l’information traitée par un ordinateur (image, son, texte, vidéo), elle est toujours codée en base 2 (numérotation binaire composée de 0 et de 1).

Il est possible de représenter physiquement cette information binaire par un signal électrique ou magnétique.

●

Les unités d’information

➢ L’octet (byte) : 8 bits

➢ Le mot simple (word) : 16 bits

➢ Le mot double (dword) : 32 bits

Codage de l’information

Encore des généralités

En informatique, outre la base 10, on utilise la base 2 soit le binaire et aussi le système hexadécimal (base 16) pour sa simplicité de traduction en langage machine.

Décimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Binaire 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 Hexa-

décimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Exemple :

77

= 01001101

= 4D

Codage de l’information

Encore des généralités

En informatique, outre la base 10, on utilise la base 2 soit le binaire et aussi le système hexadécimal (base 16) pour sa simplicité de traduction en langage machine.

Décimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Binaire 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 Hexa-

décimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Exemple :

77

= 01001101

= 4D

Codage de l’information

Codage des entiers relatifs

Une idée pas totalement satisfaisante :

Partant de la représentation des entiers naturels, il est assez naturel d’envisager de coder un entier relatif en prenant l’entier naturel associé sa valeur absolue et en lui ajoutant un bit de signe avec la convention :

• si l’entier est positif ou nul, le bit de signe est 0 ;

• si l’entier est négatif, le bit de signe est 1 . Sur 4 bits il serait alors possible de coder :

négatifs positifs

1000 0000 1001 0001 1010 0010 1011 0011 1100 0100 1101 0101 1110 0110 1111 0111

Codage des entiers relatifs

Une idée pas totalement satisfaisante :

Partant de la représentation des entiers naturels, il est assez naturel d’envisager de coder un entier relatif en prenant l’entier naturel associé sa valeur absolue et en lui ajoutant un bit de signe avec la convention :

• si l’entier est positif ou nul, le bit de signe est 0 ;

• si l’entier est négatif, le bit de signe est 1 .

Problèmes :

1)

1000 et 0000

2)

+ 1 0 1 1 --- (1) 0 0 0 0

Le complément à deux

Partant de ce constat il est possible de représenter les nombres négatifs de façon à ce que la somme d’un nombre entier et de son opposé sur un nombre de bits déterminé donne zéro :

Le nombre négatif est alors représenté par le complément à 2 du nombre entier

Exemple :

7  : 0 1 1 1

+ - 7  : 1 0 0 1

= 0  : = (1) 0 0 0 0

Le complément à deux

Méthode 1

1) On inverse tous les bits 2) On ajoute 1

A vous de jouer :

1 0 0 1 - 1 1 0 1 - 1 0 1 1 0 1 0 1 - 1 0 0 0 - 0 1 1 0 1 0 0 0

Le complément à deux

Méthode 2

1) On part du LSB (bit de poids faible) 2) On remonte jusqu’au premier « 1 » 3) On inverse tous les autres bits A vous de jouer :

1 0 0 1 - 1 1 0 1 - 1 0 1 1 0 1 0 1 - 1 0 0 0 - 0 1 1 0 1 0 0 0

Représentation des entiers relatifs sur 4 bits

Les nombres négatifs commencent tous par un 1 en position du MSB (bit le plus fort)

Représentation des nombres réels

Conversion de décimal en binaire Exemple 77,3

Attention un développement décimal fini en base 10, ne l’est pas forcément en base 2...

Exercice : Transformer 12,9 en base 2 0,3 ∙ 2 = 0,6

0,6 ∙ 2 = 1,2 0,2 ∙ 2 = 0,4 0,4 ∙ 2 = 0,8 0,8 ∙ 2 = 1,6 0,6 ∙ 2 = 1,2 0,2 ∙ 2 = 0,4

77,3 = 1001101,010011001100110011001...[1001]

Représentation des nombres réels

Le 25 février 1991, pendant la Guerre du Golfe, une

batterie américaine de missiles Patriot, à Dharan (Arabie Saoudite), a échoué dans l'interception d'un missile

Scud irakien. Le Scud a frappé un baraquement de l'armée américaine et a tué 28 soldats. La commission d'enquête a conclu à un calcul incorrect du temps de parcours, dû à un problème d'arrondi. Les nombres étaient représentés

en virgule fixe sur 24 bits.

Le temps était compté par l'horloge interne du système en dixième de seconde. Malheureusement, 1/10 n'a pas d'écriture finie dans le système binaire : 1/10 = 0,1 (dans le système décimal) =

0,0001100110011001100110011... (dans le système binaire). L'ordinateur de bord arrondissait 1/10 à 24 chiffres, d'où une petite erreur dans le

décompte du temps pour chaque 1/10 de seconde. Au moment de

l'attaque, la batterie de missile Patriot était allumée depuis environ 100 heures, ce qui a entraîné une accumulation des erreurs d'arrondi de 0,34 s. Pendant ce temps, un missile Scud parcourt environ 500 m, ce qui explique que le Patriot soit passé à côté de sa cible.

La norme IEEE 754

La norme IEEE 754 (Standard for Binary Floating-Point Arithmetic) définit 4 représentations de nombres réels (appelés flottants en informatique) :

●

simple précision (32 bits)

●

double précision (64 bits)

●

simple précision étendue (43 bits et plus)

●

double précision étendue (79 bits en plus, on utilise 80 bits) Les nombres sont décomposés en :

●

signe

●

mantisse (tronquée)

●

exposant (décalé)

N = (-1)*signe × 2

× (1,mantisse

)

Caractéristiques des représentations IEEE 754

Représentation Simple

précision Double

précision

taille (en bits) 32 64

signe 1 1

Exposant 8 11

Mantisse 23 52

Échelle 10^{+/- 38} 10^{+/- 308}

N = (-1)*signe × 2

× (1,mantisse

)

Exemple Traduisons en binaire, en utilisant la norme IEEE 754, le nombre −6,625.

• Codons d'abord la valeur absolue en binaire : 6,625₁₀ = 110,1010₂

• Nous mettons ce nombre sous la forme : 1, partie fractionnaire 110,1010 = 1,101010·2² (2² décale la virgule de 2 chiffres vers la droite)

• La partie fractionnaire étendue sur 23 bits est donc 101 0100 0000 0000 0000 0000.

• Exposant = 127 + 2 = 129₁₀ = 1000 0001₂

−6,625 →