Enoncé G150 (Diophante) Boules blanches, boules noires
Dans une urne il y aNboules noires (N >0) etBboules blanches (B >0).
On utilise l’algorithme suivant jusqu’à ce que l’urne soit vide :
1) S’il reste des boules dans l’urne, on en prend une au hasard, on la jette et on continue en 2)
2) S’il reste des boules dans l’urne, on en prend une au hasard et on note sa couleur :
a) Si cette couleur est la même que celle de la dernière boule prise dans l’urne, on la jette et on continue en 2)
b) Sinon, on remet la boule dans l’urne et on continue en 1)
Question : Quelle est la probabilité pour que la dernière boule tirée soit blanche ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
En examinant ce qui se passe avec une boule noire et une boule blanche, puis deux boules noires et une blanche, deux boules noires et deux blanches, on est conduit à la
Proposition : Tant qu’il y a des boules des deux espèces, la probabilité demandée est 1/2 ; c’est évidemment 1 s’il n’y a plus de boule noire et 0 s’il n’y a plus de boule blanche.
La proposition est vraie si N +B ≤ 2. Supposons-la vraie quand il y a strictement moins deN+B boules et examinons ce qui se passe quand on part deN etBboules, jusqu’au premier retour à l’étape 1 de l’algorithme.
Il y a 4 possibilités.
i) La première boule tirée est noire, lesN−1 suivantes aussi, et on n’obtient une boule blanche que quand les boules noires sont toutes sorties.
La probabilité de cette éventualité est N
N +B
N−1
N +B−1. . . 1 B+ 1
B
B = 1 CN+BB .
Sa contribution à la probabilité cherchée est 1/CNB+B car on est assuré que la dernière boule tirée sera blanche.
ii) La première boule tirée est blanche, les B−1 suivantes aussi, et on n’obtient une boule noire que quand les boules blanches sont toutes sorties.
Ce cas a une contribution 0 à la probabilité cherchée, la dernière boule tirée étant nécessairement noire.
iii) La première boule tirée est noire, lesk−1 suivantes aussi (1≤k < N), et on obtient une boule blanche au (k+ 1)-ième tirage.
La probabilité de cette éventualité est N
N +B
N−1
N +B−1. . . N −k+ 1 N−k+B+ 1
B
N−k+B = CN+B−k−1B−1 CNB+B =
= CNB+B−k−CN+B−k−1B CNB+B .
Sa contribution à la probabilité cherchée est, selon la proposition (car il 1
reste N+B−k < N+B boules, et il y en a des deux espèces) (1/2)(CN+B−kB −CNB+B−k−1)/CN+BB .
Cumulant ces contributions pour k= 1 à N−1, on obtient (1/2)(CN+B−1B −1)/CN+BB .
iv) La première boule tirée est blanche, les k−1 suivantes aussi (1≤k <
B), et on obtient une boule noire au (k+ 1)-ième tirage.
La probabilité de cette éventualité est B
N +B
B−1
N +B−1. . . B−k+ 1 N−k+B+ 1
N
N −k+B = CN+B−k−1N−1 CNB+B =
= CNN+B−k−CN+B−k−1N CN+BB .
Sa contribution à la probabilité cherchée est, selon la proposition (car il reste N+B−k < N+B boules, et il y en a des deux espèces)
(1/2)(CN+B−kN −CNN+B−k−1)/CN+BB .
Cumulant ces contributions pour k= 1 à B−1, on obtient (1/2)(CN+B−1N −1)/CN+BB .
Au total, les quatre possibilités fournissent la probabilité 2 +CN+B−1B −1 +CN+B−1N −1
2CN+BB = 1
2 car CNN+B−1=CNB−1+B−1=CNB+B−CN+B−1B .
Ainsi, si la proposition est vraie pour strictement moins deN+B boules, elle est encore vraie pour N +B boules.
L’ensemble des nombres de boules pour lesquels la proposition serait en défaut n’a pas de plus petit élément : il est vide.
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