D1819 ‒ Cordes égales [** à la main]
Deux cercles (Γ₁) et (Γ₂) de même rayon se coupent en deux points B et C. Soit M le milieu de BC.
D'un point A de la circonférence de (Γ₁), on mène les droites AB et AC qui coupent respectivement le cercle (Γ₂) aux points D et E.Les droites DM et EM coupent le cercle (Γ₁) aux points P et Q.
Démontrer que les cordes AP et AQ sont égales.
Solution
On mène les droites PC et QB qui se coupent au point F. Comme les cercles (Γ₁) et (Γ₂) sont égaux et que M en est le point de symétrie,d'après le deuxième cas d'égalité des triangles, les triangles BMD et CMP sont égaux entre eux.Il en est de même des triangles BMQ et CME.
Il en résulte que BD = PC etCPM = BDM d'une part, CE = QB et CEM = BQM d'autre part.
Les droites AB et CP sont paralléles entre elles, de même que les droites AC et BQ. D'où AB = CF et AC = BF puis AD= AB + BD = PF = PC + CF et AE = AC + CE = QF.= QB + BF Les quadrilatères ADFP et AEFQ sont des parallélogrammes et le point F symétrique de A par rapport à M est situé sur le cercle (Γ₂).
Donc AQ = EF. Par ailleurs l'égalité des angles ACP = ECF entraine que les cordes AP et EF sont égales.
Conclusion; AP = EF = AQ. Cqfd.