D298. Zig fait zag sur des cercles
La question 1 est une application directe du th´eor`eme de Pascal : soit A01le 7`eme point construit et X l’intersectionA1A2∩A6A01.
L’hexagoneXA2A3A4A5A6a ses cot´es oppos´es parall`eles, dont les intersec- tions sont donc align´ees sur la droite de l’infini. Il est inscriptible dans une conique. DoncA1,A01et X sont confondus.
L’ordre des 4 premiers points n’a aucun effet sur la conclusion.
1
Les pointsB2, B3,B4 etOforment un losange.
Les pointsB3, B4,B5 etO0 forment un losange.
Les pointsB4, B5,B6 etOforment un losange.
Les pointsB5, B6,B7 etO0 forment un losange.
Donc les points B6,B7,B2et Oforment aussi un losange.
On retrouve le pointB2, etB1au coup suivant.
2
L’ensemble O, B3, B30, γ est l’image de l’ensemble B1, B2, B02, Γ1 par la translationB1O. Donc :
−−−→B3B03=−−−→
B2B20
Les droitesOQ, B2B4 et B20B40 sont les axes radicaux des cerclesΓ3, Γ30 et γ0. Elles ont donc un point commun P.
O0B3est la m´ediatrice deB2B4,O0B30 celle deB02B40. B\30O0B3 = 1/2B\30OB3=B\40P B4= 1/2B\02B1B2
Donc P appartient `aΓ1.
P O.P Q=P B20.P B40 =P B2.P B4. Dans l’inversion (P,√
P O.P Q), l’inverse deΓ1 est la droiteQB04B4 perpen- diculaire `aP B1 et aussi `a OO0 parce queP B1OO0est un parall´elogramme.
⇒B4 etB40 sont sym´etriques par apport `a OO0
A partir de l`a, toute la figure est sym´etrique par rapport `a OO0 jusqu’`a B7
sym´etrique de B1. Si le parcours ”aller” a suivi les pointsB2,B3,B4, ...
le parcours ”retour” suivraB7,B06,B50,B40, ... jusqu’`aB1.
3
