Enoncé D1979 (Diophante) Deux lieux en terres équilatérales
Etant donné un triangle équilatéralABC, pour tout point M de son plan on construit les symétriquesA0,B0,C0 deM par rapport aux côtés respectifsBC, CA, AB.
1) Montrer que les droitesAA0, BB0, CC0 sont concourantes en un pointM0 ou sont parallèles.
2) Quel est le lieu des points M tels queAA0, BB0, CC0 sont pa- rallèles ?
3) Quel est le lieu du pointM0 lorsqueM décrit une droite (D) ? Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je travaille en coordonnées barycentriques de base A, B, C. Les coordonnées deM sont (u, v, w) avec u+v+w= 1.
1) La hauteur issue deA a pour composantes (−2,1,1). Le point A0 a pour coordonnées (x, y, z) avecx=−u,A0BC ayant une aire opposée à M BC. Le parallélisme avec la hauteur donne ensuite y=u+v,z=u+w. La droiteAA0 a pour équationY(u+w) = Z(u+v).
Elle coupeBB0, d’équationZ(v+u) =X(v+w) etCC0, d’équation Y(w+u) =X(w+v) au même pointM0(X, Y, Z).
2) Ce point est rejeté à l’infini si X+Y +Z= 0, soit 1
v+w + 1
w+u + 1
u+v = u2+v2+w2+ 3vw+ 3wu+ 3uv (v+w)(w+u)(u+v) = 0.
Prenons le côté du triangle équilatéral pour unité de longueur.
Alors −vw−wu−uv
(u+v+w)2 = 1 est la puissance de M par rapport au cercle circonscrit àABC; celui-ci a pour rayon 1/√
3 et le lieu de M est le cercleOM = 2/√
3.
3) Soitlu+mv+nw= 0 l’équation de (D). Elle s’écrit
(m+n−l)(v+w) + (n+l−m)(w+u) + (l+m−n)(u+v) = 0 ce qui conduit pourM0 à la condition
(m+n−l)/X+ (n+l−m)/Y + (l+m−n)Z = 0, ou encore (m+n−l)Y Z+ (n+l−m)ZX+ (l+m−n)XY = 0.
C’est l’équation d’une conique circonscrite au triangle ABC. Elle se confond avec le cercle circonscrit quandl =m=n, (D) est la droite de l’infini.
1
