D10362. Triangle minimum
Etant donné un triangleABC, placer des pointsD surBC,E surCA,F sur AB, de façon à minimiser le périmètre du triangle DEF.
Solution
Supposons le triangle acutangle (si le triangle a un angle obtus ou droit, le triangle minimum est plat et confondu avec la hauteur issue du sommet de cet angle).
La lumière suivant la loi du plus court chemin, le point E minimise le trajetDEF quandDE etEF correspondent à une réflexion enEsurAC.
D’où l’égalité des angles b de la figure, et de même les angles aen Det c en F.
Dans les triangles AEF,DBF,DEC, on a
b+c=π−A,c+a=π−B,a+b=π−C, d’oùa=A,b=B,c=C.
Ces triangles sont (à retournement près) semblables à ABC. On a donc, si A0, B0, C0 sont les pieds des hauteurs,
AE/AF = AB/AC = AB0/AC0 et les relations analogues. On en tire que D, E, F sont les pieds des hauteurs ; en effet, si par exemple AE >
AB0, AF > AC0, BF < BC0, BD < BA0, CD > CA0, CE > CB0, et AE+CE > AC, contradiction.
Le périmètre du triangle DEF est alors le quotient de l’aire du triangle ABC par le rayon du cercle d’Euler du triangleABC. Une façon de le voir est d’observer, comme Jean-Nicolas Pasquay, que les rapports de similitude des trianglesAEF,DBF,DECavec le triangleABCsont respectivement cosA, cosB, cosC, d’où l’expression du périmètreacosA+bcosB+ccosC.
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