A410 - Diophante dans ses terres équilatérales

A410 - Diophante dans ses terres équilatérales

Solution

C’est un problème très classique de recherche de triangles équilatéraux de dimension entière à l’intérieur desquels il existe au moins un point M à des distances entières différentes des sommets. Il s’agit de savoir si l’on peut trouver deux triangles équilatéraux ayant ces propriétés (P) et qui soient superposables.

Recherchons d’abord les triangles équilatéraux ayant les propriété (P). Soient N le côté d’un triangle équilatéral et a,b,c les distances MA,MB et MC. On désigne par u l’angle MAB et par v l’angle MAC. La relation des cosinus dans les triangles MAB et MAC donne :

)/2aN b a (N

cos(u) ² ² ² et cos(v)(N²a²c²)/2aN

On en déduit sisin(u) 4a²N²(N²a² b²)²/2aNet /2aN

) c a (N N 4a

sin(v) ^{2 2} ² ² ^{2 2}

Or u+v = π /3 cos(u+v) = cos(u).cos(v) – sin(u).sin(v) = 1/2

D’où la relation: [(N²a²b²)(N²a²c²)-2a²N²]² = ]

) b a (N N

[4a^{2 2} ² ² ^{2 2} .[4a²N²(N²a²c²)²]

Après simplification, on obtient l’équation du second degré en X=N² : 0

c b - c a - b a - c b a )X c b (a -

X^{2 2} ² ²  ⁴ ⁴ ^{4 2 2 2 2 2 2} D’où la formule générale donnant N²en fonction de a,b,c

)]

c b a ( 2 ) c b a [(

3 - / c b a

2N²  ² ²  ²  ²  ² ^{2 2} ⁴ ⁴ ⁴

Un programme informatique très simple permet d’obtenir les solutions suivantes pour les valeurs entières de N inférieures à 500 :

On constate que dans les deux premiers triangles la distance de M à l’un des sommets est la même et égale à 73. Ce qui permet de résoudre le problème de Diophante : le terrain ABC est de côté N=112 et la maison M est située respectivement aux distances MA=73, MB=57 et MC=65. La prairie trapézoïdale BCDE adjacente au terrain donne une nouveau triangle équilatéral ADE de côté égal à 147. Les distances de M à D et E sont respectivement MD=95 et ME=88.

N a b c

112 57 65 73

147 73 88 95

185 43 147 152

273 97 185 208

331 49 285 296

403 95 312 343

On vérifie que les deux triangles se superposent bien avec l’angle MAB égal à l’angle MAE.

Or cos(MAB) = (112²73² -57²)/(2.73.112) = 457/511 tandis que cos(MAE) = 73.147)

. )/(2 88 - 73

(147² ^{2 2} = 457/511.