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A415 - Diophante et les triangles pythagoriciens.

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Academic year: 2022

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(1)

A415 - Diophante et les triangles pythagoriciens.

Solution

1) Triangles pythagoriciens permettant de constituer un quadrilatère de périmètre minimal :

1-1 On admet que les triangles sont semblables. La configuration optimale correspondant à un périmètre de 44 est obtenue avec les trois triangles

pythagoriciens ABC : (9,12,15 ), AEC : (5,12,13) et CDE : (3,4,5) selon le schéma ci-après avec les points B,C et D alignés :

1-2 Les triangles sont non semblables entre eux. Le périmètre obtenu est de 74 avec les trois triangles pythagoriciens ABE : (10,24,26) , BEC : (7,24,25) et ACD : (8,15,17).

2) Triangles pythagoriciens permettant de constituer un pentagone de périmètre minimal :

2-1 Avec des triangles semblables, on obtient la configuration ci-après dont le périmètre est de 44 avec les trois triangles pythagoriciens ABC :(3,4,5), ACE : (5,12,13) et CDE : (9,12,15) :

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2-2 Avec des triangles non semblables, la périmètre est de 78 avec les trois triangles pythagoriciens ABE : (10,24,26), BEC : (7,24,25) et CDE : (15,20,25) placés comme ci-après :

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