EXGSP088 - Compléments
CONSTRUCTION DU DECAGONE ET DU PENTAGONE
Il existe de nombreuses méthodes pour construire le pentagone et le décagone. En voici deux :
Méthode 1 : Triangles semblables
36°
72°
72°
O
C
I
B A
D
1 2 3
Soit 36 , 72 et soit le rayon du cercle 180
côté du dodécagone convexe Donc côté du pentagone convexe
côté du pentagone étoilé
est isocèle 72
1 2
AOB BOC COD R DOA
AB d DC d AC d
OBC OAB OBA
CAB CO
1 3 1
1 2
1 3 2
36 72 Les triangles et sont isocèles
et or 1
D'autre part, 1 36 Les triangles et sont isocèles et semblables 2
2
De 1 e
B AIB COI AIB
AI d IC R AI IC AC d d R
OAC DOC OIA AOC
d
IA OA R
d d R OA CA R d
1
3
2
5 1 t 2 2
5 1 2
D'où on déduit facilement que 10 2 5 car est rectangle 2
d R d R
d R DCA
Méthode 2 : Racines n-ièmes de l’unité
5 5
2
5 2 5
Soit à résoudre dans le plan complexe, l'équation 1 0, ou encore 1 En travaillant avec les complexes, on a :
avec 0,1, 2, 3, 4
Or nous savons que la somme des racines est nulle. V
k i k i
k
x x
x e x e k
4 4
k=0 0
2
oir note en bas de page Ce qui pour les parties réelles donne : cos2
5
2 4 6 8
Ou encore : 1 cos cos cos cos 0
5 5 5 5
2 4
1 2 cos 2 cos 0
5 5
2 4 2
Posons : cos et compte tenu que cos 2 cos 1
5 5 5
k k
x k
X
2
, on obtient :
2 5 1 4 1 5
4 2 1 0 que l'on résoud. cos cos
5 4 5 4
Nous utiliserons ces valeurs pour construire notre pentagone.
X X
Construction
Méthode 1
Soit 1. Soient et deux diamètres perpendiculaires
On détermine milieu de . On trace l'arc de cercle de centre et de rayon qui coupe en . Soit milieu de
On montre facilement que :
R OB OA
D OC D
DA OB E F OE
1 5
, ,
2 2
5 1 c'est le côté du décagone, 2
5 1 2
c'est cos
4 5
5 1 c'est le côté du pentagone étoilé, 2
1 10 2 5 c'est le côté du pentagone convexe.
2
Pour tracer le pentagone convexe, - on reporte
OD AD
OE OF CE AE
ra la distance à partir de , - ou bien on élève la perpendiculaire en ,
AE B
F
O A
D
C F E B
Méthode 2
Soit le milieu de .
Soit l'intersection de et du cercle de centre et de rayon 1/ 2
Le cercle de centre et de rayon détermine les points et sur le cercle.
On montre facilement que 5
2
E AO
D CE E
C CD F G
CE 5 1
et c'est le côté du décagone 2
La corde est le côté du pentagone qu'il suffit de reporter.
CD FG
O A
D
C
E
B F
G
Note sur les racines n-ièmes de l’unité.
2
1
0
Soit le polynôme 1 0, dont les racines sont avec 0,1,... 1 A partir des racines le polynôme s'écrit :
Si on développe et qu'on identifie avec 1, on en déduit que - la
i
n n
k n
k k
n
P x x x e k n
P x x x
x
1
1 0
1
somme des racines est nulle puisque le terme en est nul si 2 - le produit des racines vaut 1
Enfin, pour 2, les points images des racines n-ièmes de l'unité sont les sommets
n
n k
k
n
k
x x n
n n
d'un polygône régulier convexe inscrit dans le cercle unité Le 20 mai 2005
Le 20 mai 2005
