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TRIANGLES SEMBLABLES
I. Rappel : triangles égaux 1. Définition
Définition :
Deux triangles sont égaux s’ils sont superposables.
Leurs côtés sont deux à deux de même
longueur, et leurs
angles sont deux à deux de même mesure.
Vocabulaire : les côtés, angles et sommets superposables de deux triangles égaux sont dits « homologues ».
Ici, C et F sont deux sommets homologues ; [AB] et [DE] sont deux côtés homologues ; 𝐴𝐵𝐶̂ et 𝐸𝐷𝐹̂ sont deux angles homologues.
2. Les trois cas d’égalité des triangles
Premier cas d’égalité : CCC
Propriété : Si deux triangles ont leurs côtés deux à deux de même longueur alors ils sont égaux.
Exemple : On a 𝐴𝐶 = 𝑇𝑆, 𝐴𝐵 = 𝑅𝑇 et 𝐵𝐶 = 𝑅𝑆. Les triangles ABC et RST sont donc égaux.
Second cas d’égalité : ACA
Propriété : Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure alors ils sont égaux.
Exemple : On a 𝐴𝐵 = 𝐿𝐾, 𝐶𝐴𝐵̂ = 𝐾𝐿𝑀̂ et 𝐶𝐵𝐴̂ = 𝐿𝐾𝑀̂. Les triangles ABC et LKM sont donc égaux.
Troisième cas d’égalité : CAC
Propriété : Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur alors ils sont égaux.
Exemple : On a 𝐴𝐶 = 𝐽𝐼, 𝐴𝐵 = 𝐽𝐻 et 𝐵𝐴𝐶̂ = 𝐻𝐽𝐼̂. Les triangles ABC et HIJ sont donc égaux.
T
S R
D
E
F
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II. Triangles semblables
1. Caractérisation angulaire des triangles semblables
Définition : On appelle triangles semblables des triangles qui ont des angles deux à deux égaux.
Exemple :
Les triangles ABC et DEF sont semblables, en effet :
𝐴𝐵𝐶̂ = 𝐷𝐹𝐸̂ 𝐵𝐴𝐶̂ = 𝐸𝐷𝐹̂ 𝐴𝐶𝐵̂ = 𝐷𝐸𝐹̂
Dans la pratique :
Pour montrer que deux triangles sont semblables, il suffit de s’assurer que deux couples d’angles sont égaux deux à deux. En effet, d’après la règle des 180°, le dernier couple d’angles le sera également.
Démonstration :
Si 𝐴𝐵𝐶̂ = 𝐷𝐹𝐸̂ et 𝐵𝐴𝐶̂ = 𝐸𝐷𝐹̂,
comme d’après la règle des 180°, on a :
𝐴𝐶𝐵̂ = 180° −𝐴𝐵𝐶̂ −𝐵𝐴𝐶̂ et 𝐷𝐸𝐹̂ = 180° −𝐷𝐹𝐸̂ −𝐸𝐷𝐹̂ alors : 𝐴𝐶𝐵̂ = 180° −𝐷𝐹𝐸̂ −𝐸𝐷𝐹̂ = 𝐷𝐸𝐹̂
on retrouve bien : 𝐴𝐵𝐶̂ = 𝐷𝐹𝐸̂ ; 𝐵𝐴𝐶̂ = 𝐸𝐷𝐹̂ ; 𝐴𝐶𝐵̂ = 𝐷𝐸𝐹̂
2. Proportionnalité des mesures des côtés
Exemple :
Les triangles ABC et DEF sont semblables.
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On fait correspondre deux à deux les côtés opposés à deux angles égaux.
Dans deux triangles semblables, les côtés opposés à des angles égaux sont appelés « côtés homologues ».
Côtés opposés à
l’angle bleu Côtés opposés à
l’angle vert Côtés opposés à l’angle rouge
Côtés de DEF DF = 10,8 EF = 12,3 ED = 13,2
Côtés de ABC AB = 7,2 BC = 8,2 AC = 8,8
On constate ainsi que : 10,8
7,2 = 12,3
8,2 = 13,2
8,8 = 1,5 Les côtés du triangle ABC sont
proportionnels aux côtés du triangle DEF.
Propriété : Si deux triangles sont semblables alors les longueurs des côtés de l’un sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l’autre.
Remarque : Le coefficient de proportionnalité est appelé le coefficient d’agrandissement ou de réduction.
Méthode : Utiliser des triangles semblables
1) Prouver que les triangles ABC et DEF sont des triangles semblables.
2) En déduire les longueurs CB et AB.
1) On sait que 𝐶𝐴𝐵̂ = 𝐸𝐷𝐹̂ et que 𝐵𝐶𝐴̂ = 𝐹𝐸𝐷̂ = 90°. Donc, par la règle des 180°, les angles 𝐶𝐵𝐴̂ et 𝐸𝐹𝐷̂ sont égaux.
On en déduit que les triangles ABC et DEF sont des triangles semblables.
2) Comme les triangles ABC et DEF sont semblables, les longueurs des côtés de l’un sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l’autre.
On a donc : 𝐶𝐴
𝐸𝐷= 𝐴𝐵 𝐷𝐹 =𝐶𝐵
𝐸𝐹 1,6
8 =𝐴𝐵 10 =𝐶𝐵
6
On en déduit que :
𝐶𝐵 = 6 × 1,6 ÷ 8 = 1,2 𝐴𝐵 = 10 × 1,6 ÷ 8 = 2
