Etant donné un triangle équilatéral ABC, pour tout point M de son plan on construit les symétriques A', B' , C' de M par rapport aux côtés respectifs BC,CA,AB.
1) Montrer que les droites AA',BB',CC' sont concourantes en un point M' ou sont parallèles.
2) Quel est le lieu des points M tels que AA',BB',CC' sont parallèles ? 3) Quel est le lieu du point M' lorsque M décrit une droite (D) ?
Soient A0, B0, C0 les symétriques de A, B, C par rapport aux cotés BC, CA, AB : AA’
et A0M (resp BB’ et B0M, CC’ et C0M ) se coupent sur BC en P (resp. sur CA en Q et sur AB en R) ; si P’ est l’intersection de A0M avec B0C0, Q’ de B0M avec C0A0, R’ de C0M avec A0B0, B0P’/C0P’=BP/CP, C0Q’/A0Q’=CQ/AQ , A0R’/B0R’=AR/BR, donc (BP/CP)(CQ/AQ)(AR/BR)=(B0P’/C0P’)(C0Q’/A0Q’)(A0R’/B0R’) : d’après le théorème de Ceva, puisque A0P’, B0Q’ et C0R’ sont concourantes (en M), il en est de même de AP, BQ et CR, c’est à dire AA’, BB’, CC’.
Ce point de concours peut être à l’infini auquel cas les droites sont parallèles : on a B0MC0=π-AB0Q-AC0R, AB0Q=2π/3-AQB0, AC0R=2π/3-ARC0, AQB0=AQB, ARC0=ARC, et AQB+ARC=2π/3, donc B0MC0=AQB+ARC-π/3=π/3. Le lieu de M tel que M’ soit à l’infini est le cercle circonscrit à A0B0C0..
Inversement, si M’ appartient au cercle circonscrit de ABC, BM’C=π/3 ; or BM’C=π-CBQ-BCR=π-CB0Q-BC0R=π/3-AB0Q-AC0R ; donc B0Q et C0R sont parallèles, et le point M est à l’infini.
Si M décrit une droite, ses coordonnées dans un repère orthonormé sont fonctions linéaires d’un paramètre, les coordonnées de Q et R, donc les pentes de BQ et CR sont fonctions homographiques de ce paramètre : en l’éliminant entre les deux
équations, on trouve pour les coordonnées du point d’intersection M’ l’équation d’une conique, dont le type est déterminé par les points à l’infini : ce sera une hyperbole si (D) coupe le cercle circonscrit à A0B0C0, une parabole si elle est tangente et une ellipse sinon.
