Équations différentielles d'ordre infini

B ULLETIN DE LA S. M. F.

A ^NDRÉ M ^ARTINEAU

Équations différentielles d’ordre infini

Bulletin de la S. M. F., tome 95 (1967), p. 109-154

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Bail. Soc. math. France, 95, 1967, p. 109 à i54.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D'ORDRE INFINI

PAR

ANDRÉ MARTINEAU

(Nice).

Introduction.

Dans le texte qui suit, je développe en premier lieu l'article Équations différentielles d'ordre infini [17], texte d'une conférence donnée au deuxième Colloque du C.B. R. M. sur l'Analyse fonctionnelle, tenu à Liège en 1964.

Le but de cet article était, d'une part montrer que la méthode de plongement que j'avais employée dans la démonstration du théorème de l'indicatrice de croissance pour une fonction entière du type exponen- tiel [16] se généralisait aux espaces de fonctions entières d'ordre fini, et d'autre part, d'expliciter quelques résultats sur les équations de convo- lution. Je corrigerai en passant le « lemme de décomposition » (p. 42 de [17]) dont l'énoncé était manifestement incorrect.

En second lieu, je donnerai des démonstrations directes des théorèmes de division dont j'ai besoin.

Enfin, pour les fonctions entières de type exponentiel, je compléterai les résultats obtenus par l'introduction d'une transformation de Laplace que j'appellerai transformée de Laplace projective. Les méthodes utilisées sont délibérément élémentaires. Ce texte est basé sur trois conférences, données en décembre 1965, du Séminaire dirigé par Jean LERAY au Collège de France.

Table des Matières.

INTRODUCTION. . . . .

TABLE DES MATIÈRES.

Pages.

109

i o 9

PREMIÈRE PARTIE :

La transformation de Fourier-Borel dans les espaces de fonctions d'ordre fini.

1. Notations et premières d é f i n i t i o n s . . . . 2. Nature vectorielle topologique des espaces de fonctions entières.

BULL. SOC. MATH. — T. 95, PASC. 2.

ll0 A. MARTINEAU.

3. Représentation des éléments du dual d'un espace de fonctions e n t i è r e s . . . 113 4. La série de T a y l o r . . . 115 5. Application diagonale et c o n v o l u t i o n . . . 11 o 6. L'isomorphisme de F^ourier-Borel. . . . 120 7. Théorèmes de d i v i s i o n . . . 13 2 8. Applications aux équations de convolution . . . 136

DEUXIÈME PARTIE :

Compléments dans le cas des fonctions entières de type exponentiel : la transformée de Laplace projective.

9. L'indicatrice projective de F a n t a p p i é . . . 140 10. La transformation de Laplace p r o j e c t i v e . . . 147 11. Théorème de l'indicatrice de c r o i s s a n c e . . . 15i BIBLIOGRAPHIE . . . 15 3

PREMIÈRE PARTIE.

La transformation de Fourier-Borel dans les espaces de fonctions d'ordre fini.

1. Notations et premières définitions.

Dans la suite, Y désignera un espace vectoriel complexe de dimension finie. On notera V'1 pour préciser que V est de dimension n. Et par choix d'un système de coordonnées, on entendra un isomorphisme vectoriel (complexe) entre V et G" : si zç. Y, nous écrirons alors z= (zi, . . . , Zn).

On notera par V l'espace vectoriel (complexe) dual de V. On désignera par fonction entière une fonction holomorphe sur V (resp. sur V).

Soit p une fonction continue sur Y. On notera par -Bp(V) l'espace (1) des fonctions (z->f(z)) telles que f(z).exp(—p(z))| tende vers zéro à l'infini muni de la norme

(i) ||/-||p=s^p|/'(z).exp(-p(z));

Bç est un espace de Banach. L'espace Bp peut être réduit à zéro; en outre se pose le problème de savoir dans quelle mesure Br, dépend de p.

Je reviendrai ailleurs sur ces questions.

Dans tout ce qui suit, p va être très particulier.

(a) Fonctions entières de type exponentiel. — On se donne une norme réelle sur Y, c'est-à-dire une fonction p telle que p (z) ^ o, p (z) == o => z = o,

(1) Dans la suite, nous noterons B^'SL la'place de B^V), etc., quand aucune confusion ne sera possible.

p ( U j + "O^pO^i) + p("0» p ( À u ) = = À p ( u ) pour tout ^^o. On désigne par £'' la réunion

(2) ^J^p-£'.

^>0

Un élément de E[ sera dit, fonction entière de type exponentiel.

Il revient au même de dire qu'une fonction entière est de type expo- nentiel s'il existe A et K tels que

(3) \f(z) ^K.exp(A.p(2)), où p est une norme réelle.

Il est clair que E1 ne dépend pas du choix de p. De même, l'espace (4) Ç\B^==E'^p— -c'0

^>0

ne dépend pas du choix de la norme.

Un élément de cet espace sera dit fonction entière de type exponentiel zéro.

On est de même amené à introduire les espaces (5) \jB^=En^

A<,R

espace des fonctions entières de type exponentiel et de p-type inférieur à A, et

(6) Ç \ B^ p == E^ jî, p,^p — -^O^JR, pî .4>R

l'espace des fonctions entières de type exponentiel et de p-type égal à A.

Ces espaces dépendent de p. On est amené aux conventions naturelles

£'oL,o,p= E^, £'^,p==£1,

ce qui nous permettra dans la suite de faire prendre à R les valeurs o et oo respectivement dans £',>^p et dans £'^,p.

(b) Fonctions entières d'ordre fini. — Nous remplaçons la fonction A p par (A pY où A:^ i, et nous noterons par Ek l'espace des fonctions entières d'ordre k et de type moyen, soit

(7) E^^JZW,

1 1 2 A. MARTINEAU.

et par E^ son sous-espace des fonctions de type zéro, soit

(8) E^Ç\B^^.

^>0

Ces deux espaces ne dépendent pas du choix de p. Nous désignerons par E^, p l'espace des fonctions entières d'ordre k et de p-type inférieur à R, soit

(9) ^= U ^B{Â ^ ⁹

Â<R

puis par E^n,^ l'espace des fonctions d'ordre k et de p-type égal à R, soit

(Io) ^,F=^B(^.

Â^>R

On a donc

E^^E^ et Ei,^=E^

(c) Fonctions d'ordre infini. — Nous poserons, et ceci sera justifié dans l'avenir, E^ pour l'espace des fonctions holomorphes au voisinage de l'origine de Y, E^ pour l'espace des fonctions entières, ^^p pour l'espace des fonctions holomorphes dans l'ouvert ^(z)<R-ⁱ,ES^ pour l'espace des fonctions holomorphes au voisinage du compact ^(z)^R~\

2. Nature vectorielle topologique des espaces de fonctions entières.

LEMME 1. — Si A <A', l'application identique deB^^ dans B^,^ est compacte.

Démonstration. — Supposons d'abord k -^ oo. La boule unité P de B^^k est compacte pour la topologie de la convergence uniforme sur tout compact de V d'après un théorème de Paul MONTEL. Si fn est une suite d'éléments de cette boule, on peut donc en extraire une sous-suite f^, convergeant vers fo, où fo e (3, uniformément sur tout compact. Mais s > o étant donné, il existe jRo tel que p (z) > Ro entraîne

(n) expaAp^y-^A'p^yxl

et Ro étant fixé, il existe Ho tel que n'> no entraîne i fn'(z)—f,^(z) < e pour tout z tel que p(2')^J?o. Donc

M^)-/^)l.exp-(A\p(^

^sup/ sup | A/0 0 — / . o O O h + . . .

\ | z | ^ Ro /

+ sup ( fr,'(z)—fn,(z)\.e-^^^\e^^^k-^^z^)^^.

1 z 1 > -^0

Donc les fn> convergent dans B^^n vers fo. Le lemme est démontré pour k ^ oo. Pour k= ^, il se réduit à la propriété déjà rappelée de

MONTEL.

G. Q. F. D.

On peut munir l'espace Ej?,p de la topologie de la limite inductive des B^^k où A <R. De même, £^p sera muni de la topologie de la limite projective des jB^p^. Si k 7^00, il est immédiat de constater que ces topologies sont plus fines que celle de la convergence uniforme sur tout compact, donc que la topologie de la convergence simple.

D'après le théorème du graphe fermé de KÔTHE-GROTHENDIECK [8], il en résulte que les topologies introduites sont les seules topologies d'espaces x-^ plus fines que la topologie de la convergence simple dont peuvent être munis ces espaces. Pour k == oo et les espaces E^ p (resp. E^n, p), on considère la topologie de la convergence simple des coefficients des séries de Taylor des éléments de £'7?,? (resp. £'o°7î,p) en tout point de l'ensemble p(z)^7?-1 [resp. p(z)<J?-1], topologie moins fine et séparée qui rend naturelle, vu le théorème du graphe fermé, les topologies intro- duites (on aurait pu faire de même dans les autres cas).

Dorénavant ce sont ces topologies que nous considérerons.

PROPOSITION 1. — Les espaces E^, £^p sont des duals de Fréchet- Schwartz, les espaces E^ et E^p ,,p sont des Fréchet-Schwartz.

Démonstration. — La terminologie adoptée est celle de l'article de GROTHENDIECK [7]. Je renvoie à cet article pour la théorie de ces espaces.

La propriété découle du lemme, cf. [7].

Remarque. — II est aisé de renforcer le lemme et de montrer que l'appli- cation de B^^k dans B^^k est nucléaire. Donc nos espaces sont même des espaces nucléaires [8], ce qui d'ailleurs ne m'est d'aucune utilité dans la suite.

3. Représentation des éléments du dual d'un espace de fonctions entières.

Soit k ^ oo. Désignons par C^,p l'espace des fonctions g continues sur V et telles que g ( z ) . exp (— (A p (2))^) tende vers zéro à l'infini muni de la norme

g -> sup | (g. e~^ P^) (z) |.

ZÇF

C'est un espace de Banach. Alors nous désignerons par ^,/?,o l'espace

(12) ^ c,p

A^R

et muni de la topologie de la limite projective des C.^p. C'est un espace de Fréchet dont je vais déterminer le dual. Le dual de l'espace C^o

I I 4 A. MARTINEAU.

est formé des mesures ^ sur V telles que ^.e^P^^' soit une mesure bornée.

En effet, si Co est l'espace des fonctions continues tendant vers zéro à l'infini, dont le dual est justement l'espace des mesures bornées, l'appli- cation Co-^C^p définie par g—^g.e^^ est un isomorphisme métrique dont le transposé envoie Cjî,p sur le dual de Co. Les fonctions continues à support compact sont denses dans Ça. ^ comme on le voit par une tron- cature, donc le dual C^p de cet espace est un ensemble de mesures, et l'application transposée est fJi-> ^.e^^. Ceci démontre l'assertion.

Il vient alors le lemme ci-dessous :

LEMME 2. — Soit k y=- oo. Le dual de P^p est constitué des mesures [^

qui satisfont à la propriété : il existe A > R tel que [^.e^^ soit une mesure bornée.

Démonstration. — II suffit d'appliquer, vu ce que nous venons de démon- trer, et notant que le dual de 2^, 7?,? est un espace de mesures, le corol- laire 2 de la proposition 10, § 2, chap. IV, de BOURBAKI [3].

L'espace E^p apparaît comme un sous-espace fermé de FS.n,r, car il est déjà fermé dans ce dernier pour la topologie moins fine de la conver- gence uniforme sur tout compact. Donc une application du théorème de Hahn-Banach nous donne la proposition suivante :

PROPOSITION 2. — Soit k -^ oo. Tout élément T du dual de E^n,^

peut être représenté par une mesure ^ telle que | ^ \. exp (B p/' soit bornée pour un B>R au moins, c'est-à-dire que, pour toute /'eE^,p, on a

T(f)=ff(z)d^z) et réciproquement.

Pour k =00, tout élément T du dual de Eo^p peut être représenté par une mesure ^ à support compact dans l'ouvert p(z) <2^~l.

Pour la représentation du dual E^ç, on a la proposition suivante : PROPOSITION 3. — Tout élément T du dual de £^,p (k ^=00) peut être représenté par une mesure [j. telle que | p. .exp (Bç»Y soit bornée pour tout B < R.

Démonstration. — La restriction de F à B^p^-, où A < R, est continue, donc provient d'une forme linéaire continue ^4 sur C(^P)Â. Convenons d'appeler mesure de Cauchy une mesure de la forme

(i3) g^ ——— / g ( z ) d z (dz=dz,/\ ... f\dz^

^ ^ ) .A(^)

où v(zo) est la frontière distinguée orientée d'un poly cylindre de centre Zo.

On a le lemme suivant :

LEMME 3 (MORERA). — Soit k 7^ oo. Les mesures de Cauchy forment un ensemble total dans le sous-espace (B^^k)⁰ (orthogonal de B^r^) de C^p)<-,

Démonstration. — Pour cela, il suffit de voir que si ^ (/')== o pour toute mesure de Cauchy ^, alors f est holomorphe ce qui est précisément le théorème de Morera.

c. Q. F. D.

Nous appliquons maintenant le procédé de Mittag-Leffler.

Si Ai, . . . , A / , , . . . est une suite strictement croissante de nombres réels telle que limA,,==J?, et si l'on note par || ||/, la norme dans C^p^-,

ii

on remarque que || ||n+i^|] |]/, dans C^p^. Ayant trouvé ^ qui représente T sur B^^k puis ^ sur B^^^k, la mesure (^—fJii) est orthogonale à B^/.^k, donc on peut lui ajouter une combinaison linéaire finie de mesures de Cauchy ^ telle que

(i4) • lll4-^-^||.i<^

On posera ^ ^ ^ — ^ 2 ; ^-i? . . . » ^n—i ayant été choisies en sorte que

(l 5) II fJ..-i —— [J.n-2 1^-2 < ——— î 2à

on pourra trouver ^ telle que ^représente T dans B^^A. Donc on peut trouver ^n combinaison linéaire finie de mesures de Cauchy telle que

(l6) II ^—— Vn—— ^-i ||/,-i < ^ î

Alors lim^ existe dans chaque espace C^p)A. Si ^ est la mesure

n ->> ao

limite, elle répond à la question.

c. Q. F. D.

Je ne vois pas la possibilité d'une telle propriété pour k =00.

4. La série de Taylor.

Soit fçES,iî,^ (resp./'eE^p), et considérons sa série de Taylor à l'origine

(17) ^ (f) == ^, ûa. ^a (considérée en tant que série formelle).

a

Posons

(18) Pn{f\Z)- ^ Oa.^

| a | = n

[on a a == (ai, . . ., a^), [ a [ = ai + . . . + a,,],

i i 6 A. MARTINEAU.

alors on a la proposition suivante :

PROPOSITION 4. — Supposons que p (À. z) = 7 . p (z) pour tout À complexe.

La série de terme général Pn(f;z), si /'e£o^,p, converge vers f dans cet espace. On a, plus précisément, si fçB^^k, sa série converge absolument dans tout B^.^k où A ^ > A , ce qui entraîne que, si f^E^^, la série

^Pn(f; z) converge vers f dans cet espace.

n

VARIANTE. — V == G'1. Une norme o est dite de Reinhardt si p(e^.Ui, . . . , e^-.Un)=^u,, . . . , U n ) .

Si p est de Reinhardt la série de Taylor de feE^,^ converge dans cet espace vers f (resp. la série de Taylor de f^E^n converge dans cet espace vers f).

Cette proposition admet le corollaire suivant :

COROLLAIRE. — Les polynômes sont denses dans E^ (resp. E^).

Démonstration. — Prendre pour p une norme complexe et appliquer la proposition.

Remarquons que cette propriété a lieu en général dans tous nos espaces sous les seules hypothèses du début pour p, mais je ne le démontrerai pas ici.

Démonstration de la proposition. — On considère la fonction (19) g(z,t)=f(t.z\ ^z=^z,, . . . , Ç2,).

Il vient la formule

(-) ^ ^ - A ^ ^ ^ ^ T -\z)=—— I g(z', 1 ^ 1 = 1

Supposons que fçB^ç^, c'est-à-dire en particulier que (2 0 sup | f(z). exp — (A p (z)Y | ^ M(A) < + oo.

z € /^

Ceci nous donne

(22) \g(z', Ç)[^M(A).exp(Ap(^

et, posant R = p (z), il vient

(23) sup | Pn(f, z) | ^M(A).exp(A .Ry parce que p^.z) = p(z), d'où

M> •"•<?"", ^ ⁾ ^w^^-

LEMME 4. — Le minimum de la fonction R -> e x p {' ) est atteint

/n\l/k T / p k ( A/ f\ \l/k

f) 1 1 L \ ' l y , - / C . / i l ^ j L 1 \ '

pour R = , -, • I I vaut ——v—/

U / A \ n )

Ce type de raisonnement est classique. Posons

Pn(f\ Z) | /r»^\ „ _<-nn ' / z v / ? / 1

( 5 ) '"^ï (P^))-

et soit

(26) ©=ilm(^y ^/ '.^.

LEMME 5. — /'e£(^p équivaut à © = A .

Démonstration. — feB^,^ pour tout A ' > A , d'où, par le lemme précédent,

© ^ A' pour tout A' > A, car on a

(27) (^y^/'.«^M(A7^J/^{/^}.A^/.

Dans l'autre sens, supposons que 0^A. Alors à partir d'un certain rang, A' étant donné supérieur à 0, et si ("^A^A", on a

(

(28) ^/^ ^ .A-, d'où

f fe k\n/k fe k(A/f\k\n/k\ (.9) ""^((Ï) •(A")»=(^e^) ).

Calculons la norme

(3o) sup !?„(/•; z).exp(—(A'p(2))^) | = 7,,.

/l

On a

(

^ ^{v /} ) .JR^/^exp(—(A^/.JR)^{^})

et, utilisant le lemme 4,

(3z) ^.exp^A'.fiy-^^^.p d'où

/ /A " \ n

4^'

(3') > . ^ ( — 1

pour n assez grand, ce qui montre que la série converge.

118 A. MARTINEAU.

Elle converge donc vers une fonction f(z) telle que sup fOO.exp-^py^) <+oo

et A' > A étant arbitraire f. exp — (A' p)7-" tend vers zéro à l'infini.

Démonstration de la variante. — On suppose donc que Y = G" et que p est une norme de Reinhardt. On pose

(33) Uy== sup \z a,

P ^ ) ^ !

puis

(34) T - i ï m f f - ^ V ^ . ^ / l ^ . l a a '^'Ve.k ) a

Alors f ç. E^, j, ? équivaut à T = A.

En efîet, on a

(35) u/^^(n). sup i;a. ûa ,

où ^(n) est le cardinal de l'ensemble des a tels que [ a | == n; <D(n) est un polynôme de la variable n.

Donc,

/ n \ i A - / ri V/71

(36) — ) .u;./"^(—) .<I>(n)'/" sup ya/". a^"1,

\e.K j \e.K / ] a | = / ^

d'où Q^T.

Dans l'autre sens, appliquons la formule de Cauchy à P / i ( z ) == N^

II vient

(3.) «-(^y /.../ ^*,

1 ^ 1 =^,...,1^1=^

^i,...,^)=i

d'où

(38) | û a ^ — ^ SOit | a a . y a | ^ y / ^

^0

d'où T === © ce qui montre l'égalité de T et de 0 dans le cas d'une norme de Reinhardt.

Enfin, cette même inégalité montre que la norme de a^.z^ dans un espace -Bp.y?, où p est de Reinhardt, est inférieure à celle de P\y.{{\z), donc est majorée par une série de puissances convergente. Le nombre des a, tels que | a | = n, étant un polynôme de n, cette série est sommable, donc sa somme est égale à ^ ( V d^.z^^ = /'.

// \ 1 a ] - n ]

C. Q. F. D.

MAJORATION DES COEFFICIENTS. — On a les majorations suivantes : Si fçB^ç, on a

f p î{(Ak\\n/k

(39) "„ ^l[flkp(-^ •

Si o est en outre une norme de Reinhardt :

/ p b ( A /^\ \ 1 a | Ik T

(/ \ i ^ 1 1 r\\ 1 C-.n.l^i. j \ i l ' I

4o) |aa ^ H / l k p - — — ^ — •-•

a / v, 5. Application diagonale et convolution.

Considérons l'application définie pour toutes les fonctions de Y à valeurs dans l'espace des fonctions définies sur Y x V et que je noterai A : (41) A : (z^f(z))^((u,u)^f(u+u)).

L'application A peut aussi être définie par la formule (4i) pour les germes de fonctions définies au voisinage de l'origine de V et de V x V.

PROPOSITION 5. — L'application A applique E^V) dans E^(VxV) qu'on peut identifier à E^V) (g^E^Y).

Démonstration. — Le cas de k =00 est bien connu (cf. par exemple [16], p. 88).

Dans la suite, nous supposons k 7^00.

i° Si p est une norme sur V, nous considérerons sur VxV la norme cr(u, U)==r,(u) + o(u),

(42) f(u + u) 1 ^ M. exp (A p (u + u)Y

^M.exp(A(p(u)+pOW

^ M. exp (A cr (u, u)Y.

La définition de E7- ne dépendant pas de la norme choisie, la première assertion est démontrée.

2° Le produit tensoriel s est stable par passage à un sous-espace [8], [22], [23]. On sait que

Co(Vxy)~Co(y)®sCo(y) [22].

L'espace C^^V) s'envoyant isométriquement sur Co(V) par l'appli- cation f^>f.e ( /^ , en appliquant le résultat précédent, on trouve

(43) ^,p(y)(g)3C^(V)-cs, (VxV),

où

(44) (o-^ Z, (u, u)y =-. (A p (^y- + (B p (i;))

-.

120 A. MARTINEAU.

T^n/» Tîk û+o,-t+ fûTWtû <~loy»c. /"^

Donc B^p étant fermé dans C^,p quel que soit A, p, on en déduit

^,p(v)®s^p(V)-^(vxv).

«

En passant à la limite inductive, ce qui est possible notre espace_étant complet [8], on obtient le résultat.

c. Q. F. D.

L'identification de E^k(VxV) avec E^V) (g),^(V), combinée à A, nous permet de définir la convolution; A devient une application linéaire continue de E^k(V) dans E^k(V) ^E^k(V).

L'application transposée ^A envoie les applications bilinéaires inté- grales sur Ek(V)xEk(V) dans Ek(V), en particulier les tenseurs élémen- taires TÇ^U dans Ek(V). Par définition, on posera

(45) T^U^^(T®U) soit

(46) (T^[7)(f)=(T(g)l/)(Af).

L'espace (E^V))⁷ apparaît comme une algèbre commutative et uni- taire. En outre, comme Ek(V)CE/t(V) si k^h, l'inclusion étant dense, et comme A définie sur Ek(V) est la restriction à cet ensemble de A, définie sur ^(V), (^(V)/ est une sous-algèbre de (E^(V)y. Notons de même que (C^V)/ est une algèbre et que la représentation est un homomorphisme d'algèbre, toujours parce que A est le même.

De façon analogue, on vérifiera :

L'application A envoie E^(V) dans E^(VxV) qu'on peut identifier à

^(V)(§)£^W- O^{11 en} déduit que si

Te(^(V)y, ^e(W)y et si l'on pose

(47) T^U=^(T®U),

(£^(V)y devient une algèbre commutative et unitaire; (E^V))' est sous- algèbre de (£î(V)y.

6. L'isomorphisme de Fourier-Borel.

L'espace E¹ ou, si k>i, les espaces Ej?,p et £^,7?,?, pour tout-R^o, contiennent les fonctions exponentielles (z -> exp <( z, u y ) où u parcourt le dual V, de V <(z, u)> désignant la valeur de u sur z. L'espace jE^,p ne contient, lui, que les exponentielles u telles que

(48) sup ( R e < 2 , u » < 7 ? , p(^)<i

donc l'ensemble ^(ù) < R où p' désigne la norme duale de p. Nous dirons que nous sommes dans le cas (2). La situation précédente sera le cas (1).

De toute façon, pour toute T(=(Et p/, on peut définir T^(exp<z, u » quand (z—^exp<(z, u ) > ) appartient à l'espace, et si ^ est une mesure représentant T et satisfaisant aux conclusions de la proposition 3, on aura

î\(exp<z, u»= / d^r.exp<^ u>=^r(u).

Dans le cas (1), la fonction u->^T(u) est une fonction holomorphe entière de u. Dans le cas (2), elle est holomorphe, définie dans l'ouvert p ^ u X i . Posons R= -, et si .R=o, ^=00, J?=oo, R = o. Soit k le

ti

complément de A-, c'est-à-dire si k T± i, k' défini par î + I == i, si k = i,

K. K

k' = oo, et si k =00, k == î.

On a le théorème suivant :

THÉORÈME 1. — p étant une norme complexe, la transformation de Fourier-Borel établit un isomorphisme entre

(^p(V)y et £o^.,^F'(^ °ù ^)-^_^-,/. (2).

Pour k=i, il suffît de supposer que p est convexe (c'est le théorème de l'indicatrice de Pôlya).

La démonstration du théorème de l'indicatrice de Polya sera donnée plus loin par une méthode nouvelle. (Pour d'autres démonstrations, cf. [16], [9].) C'est aussi une conséquence du « Fundamental principle » de L. EHRENPREIS [5]. Donc, jusqu'à nouvel ordre, je suppose que p est une norme complexe.

LEMME 6. — L'application T \-> ^ T (dite transformation de Fourier- Borel) est injectiue de (E^p(V))' dans E^^^ l î y ^ ' Ç V ' ) [resp. de

(E^,p(y)yd^£^,,^,^(v')].

Démonstration. — Les polynômes sont denses dans E^ç, donc il en est de même des combinaisons linéaires des fonctions exponentielles telles que p^u) < R (dériver en u et faire u = o!). Ceci assure la biunivo- cité de la correspondance.

Pour le cas de £'^^p(V), on note que

^,p(y)-p|(^pW)

A>R

(2) Cet énoncé est esquissé de façon très incomplète dans l'Ouvrage de MM. GEI/FAND et SILOV sur les distributions.

122 A. MARTINEAU.

et l'on définit la transformation de Fourier-Borel de

(£^p(V)y=^J(£^(V)y ./>/?

par la définition précédente. Elle est donc injective de (E^^V))' dans

U (Eo^(.).^P'(^))=E^.).^^v/) A^R

si l'assertion a été démontrée dans le premier cas que je vais consi- dérer maintenant jusqu'à la fin.

Soit ^ représentant T. D'après la proposition 2, dans le premier cas, et avec k 7^00, il est possible de choisir ^., pour tout B<R, en sorte que | p. [. exp (B p/" soit bornée. Considérons l'intégrale

(49) fexp<^, u>.^(2)^T(u).

.y/-

Toute dérivée partielle en u donne une intégrale absolument conver- gente, donc ^ T est holomorphe.

On peut écrire

(50) -JT(u)=. fexp«^, u>-(5p(^).exp(Bp(2)y.^(^).

J^

La mesure y == ^. exp (B p)⁷' est de masse totale bornée K et il faut évaluer

(51) maxRe«2, uy—(B^(z)Y)=J(u) si p(2)==J? :

max Re <( ^, u )> = jR. p' (u),

z^[z)=R

où p^ est la norme duale, d'où

(j^^max^p^)-^.^)^;'^)^"1.^

( si ky^ï, oo.

On peut écrire

/ (b_,u--j/^\Ày/:-)

J(u)=(p'(u).5-'(/c-4)——) , donc

/ (b__.U--.1/Â-\/.-//.-1

(53) | ^T(u) \^K.exp[^(u).B-1 ^——^—— ) .

\ "• /

La constante B étant arbitraire inférieure à R.

Si nous posons

(^) ^W=n.(/C_iy:-i/^k ^

on a bien

^TçE^.^^y').

Lorsque Â:==I, l'intégrale converge quand p^/( u ) < B , donc ^T est holomorphe pour p/( u ) < p î c'est-à-dire, avec les conventions précé-

/j^._ -,v-—i/^

dentés, appartient à E^n^^(V). Notons que lim-^—————=i, ce

k^ï K

qui montre que la formule est ainsi prolongée de façon naturelle pour k= i.

Si Te =00, pour tout B < R, il existe une mesure JJL, à support compact dans l'ouvert ^(z)<B ', telle que ^ T(u) == j exp < z, u > d^ (z), d'où

i ^ T ^ l ^ l l ^ l l . e x p / sup Re<2, u>\,

\p(^fi-i ) soit

(55) ^r(u) ^ . H ^ l l . exp^-'.?^)).

La formule se prolonge à nouveau de façon naturelle. Le lemme est démontré. Remarquons que À (k) atteint son maximum pour k == 2 et vaut alors 2.

LEMME 7. — Si W est un espace vectoriel quotient de V par une appli- cation linéaire continue u, et si o- est la norme quotient de p,£^cr(W) [resp. ES, jî, a (W)] s'identifie à un sous-espace fermé de E^ ç, ( V) [resp. E^ ^ p( V)]

par l'application f->fou à savoir le sous-espace des fonctions constantes sur les fibres de u.

Démonstration.— Le sous-espace des fonctions constantes sur les fibres de u est fermé dans £^cr(V) [resp. E^iî^(V)], car il est déjà fermé pour la topologie de la convergence uniforme sur tout compact de V dans la situation k ^ oo, où, dans le dernier cas, pour les topologies décrites juste avant la proposition 1.

Considérons d'abord k^co. Soit f constante sur les fibres de u et telle que | f(z) ^K.exp(B^(z)Y. Alors, si g(t) est la fonction définie sur W par g ( t ) == f(z) où u(z) == /, on a

(56) g ( t ) \ ^ K . e x p ( B ( inf p(2W^K.exp(Bcr(Oy.

\ \ii(z)=t ) )

Dans l'autre sens, si f= g o u et si | g ( t ) | ^L.exp(Co-(0), on a (^7) \f(^ = g(t)\^L.exp(Ca(f))k^K.exp(C^z))k

124 A. MARTINEAU.

puisque p(^)^o-(/). Il est clair que le lemme 7 résulte de ces inégalités.

Ensuite si k = oo, cela résulte de ce que, si f est constante sur les fibres de u et si f est holomorphe pour p(z)<.R-l, alors g est holomorphe pour (7(() <.R-1.

LEMME 8. — Le théorème 1 est vrai pour V = C^, /i

1 1 ^ 1 1 = 2

^ INI^^Pl

/

Démonstration. — Rappelons que lorsqu'on pose Y = C'\ on identifie V à Q¹, la forme bilinéaire de dualité <( z, u. )> devenant ^. Zy. Uy. Dans

7 ces conditions, la norme duale de || ||i est la norme || [|^.

Il suffit de démontrer le théorème avec les espaces E^ p et p = || ||i o u p - H II,.

^—« ^oc 77^

Soit z -> exp <( z, u y une exponentielle de l'espace E^ p. La série ^. ——

a

est sommable dans cet espace fonctionnel, donc T(exp<z,u»=^,T^)^.

a

Nous posons Ca== T(z^). La série de Taylor de ^ T est donc (58) ^0^=^.^.

a a

Soit /'eE^p de série de Taylor V û a . ^ absolument sommable, donc

a

sommable, dans l'espace fonctionnel vers f d'après la proposition 5.

En conséquence :

(59) T(0 =^J ^T^^ "S^ ^aa' ^

a famille des nombres a h> a ! âa. &a étant sommable. Réciproquement, si

.^=:

6a est une suite de nombres tels que, pour toute /'e£^p, f^^.a^.z^, la famille des nombres (a ! ûa. &a) est sommable, il est clair que f->^, ^ ! ûta. ^a

a

définit une forme linéaire sur E^ç, La continuité résultera des inégalités qui vont suivre. La transformée de Fourier-Borel de cette forme linéaire

continue est donc par (5g) et (58) la fonction de série de Taylor à l'origine V by,.u^.

a

Majorons maintenant les by. sous la seule hypothèse de convergence de toutes les séries V a ! ûa.^a. D'après le lemme 5 appliqué avec la norme |[ ||i

a

il faut calculer Vy. :

(Z, + . . . + Zn

a= | a

d'où

sup I M I i = i et

(60) Uo

D'autre part

(6l) ^ a ^ -

)

x ^

a | ! < I » ( a i . ^

M

"r \i

a! •] 2

^ .1

= M a l

S

Z\-

!

a

^:

)

a|!

al ^{^a,}

En conséquence, dans le calcul du type, on peut remplacer Vy. par a,\\

Le type T d'une fonction f de E^ par rapport à la norme || [|i sera donc donné par

______ / /y \ 1/k ^ f

<

)

^=

(-e

F) •^r^i^

-

Si fçE'R, cela veut dire qu'il existe un Ao tel que, pour tout A tel que A o < A < j R , on a ï(/')<A. Donc, dès que |a est assez grand, on a

e.k V ^ | a (63) [ û a l ^ A l ^ l

d'après la formule (62).

La série V a ! ûta. ^a est sommable, donc il existe une constante telle que ^\a^.by,\<M, d'où | by, ^\Œ\a. '. Or on peut prendre

, / _e^k_\^^k j a | ! [~^) '^T

a a ^ A ^ I

puisque A < J?, car, avec ce choix, la série V, a^.z^ a pour somme, d'après le lemme 5, un élément de E^, [| |L Ceci nous donne

(64) & a | < M . A - lal (

e.k

BULL. SOC. MATH. — T. 95, FASC. 2.

126

et (65)

A. MARTINEAU.

^ / k M^^f^M^'.A-

\~eTk ) ' ( l a l ! )1/ ! ^ '

On a la formule de Stirling :

•V/27T | a .exp(—ô(\ a |)/i2) ou

o ^ ô ( | a | ) ^ i [2],

on en tire

(66) 6 a ^/ ! al ^ Ml /lal . ( v/2 7 ^ a | .expô( a )/I2)l/IaI

a | j(-i+i/^)^iA / N_(i-i//,)

^.(i—ï/^f V1" " ^ ^ •A - l-

X ^ - (é )

On a bien

À(^=

k^

L'inégalité (66) ayant lieu quel que soit A < R, il s'ensuit que

^^a.^eE^^^.^-ij] 11^.

a

Réciproquement, si Vôa.^eEo^^^.Tî)-!,!! n,, ceci veut dire que, pour tout A < J?, on a

(67) | ^ ^ M ( A ) fe•/ c f<À, <j c) •A^ Va l^ . a i

Si /'^Vûa.^ appartient à J5^ji j],, on aon

a

fô8) 1 ^ ^ 1 1 fil (e.k(A^^^ | a î

v

^ l^ ^\\]\\A,\\ \ \ A — , — i '"./r

donc la série de terme général | a! ûa. 6a a son terme majoré par

/ p \ ^al / 4 \ 1 a|

M(A).||^.,,(^) . | a | l ( ^ ) , donc

^ala,.^ ^M(A).[[/-||^,|, ^^/a^TY^-T', a

(^ yalûa.^ ^K.M(A). I l / - 1 1 ^ 1 , ii,.

Ce qui montre que la forme linéaire ainsi définie est continue sur chaque BA',\\ n,, donc sur ~Ek4,\ \\^ donc que l'application de Fourier- Borel envoie le dual de £ ^ i j ,;, sur E^(\^).R)-^\\ n..

De façon analogue, on verra qu'elle envoie le dual de E^)) p^ sur

^if,(A(À).7î)-i,n 11^. Le lemme 8 est démontré.

Notons qu'il était évidemment possible de commencer par les iné- galités (67) à (69), puis d'appliquer le lemme 6. Mais nous avons voulu montrer en outre la propriété que, si la série ^ a î c f a . ^ a converge pour toute fçE^ç, où p est une norme de Reinhardt, alors les by. sont les coefficients de Taylor de la transformée de Fourier-Borel d'un élément du dual de cet espace. Quant à la notion de convergence de départ pour la série, elle est indifférente, car on peut toujours remplacer a^ par

| ûa • , a ? donc la série doit toujours être sommable.

| ^a

LEMME 9. — Soit u une application linéaire injectiue de V dans W, deux espaces normes complexes de dimension finie. On suppose que si o- est la norme de V, p celle de W,

p(u(e)) = <7(e) pour tout e de V.

Soit u' l'application transposée, surjectiue de W sur V.

Si Te (JS^oy [resp. Te (EU'L ^ définit u(T) par u(T) (ft = T(fo u) pour toute /'eE'^p (resp.fç.E^ç). On a la formule

(70) ^(u(r^))=^(T).u'.

Démonstration. — Pour tout f ç. F ' , WO) (D = u(T) (f^ exp </•, f »

= T ( e x p < u ( f ) , ^ »=^ ( ^ e x p < e , ^ ( ^ ) » = ^ T o ^ ( f ) .

C. Q. F. D.

LEMME 10. — Mêmes hypothèses qu'au lemme 9, c'est-à-dire que Y c W est un sous-espace vectoriel norme de W. L'application de restriction de Ei^W) [resp. £^,p(W)] à V est surjective sur £J^(V) [resp. Eo^(V)].

Démonstration. — On peut utiliser les résultats de L. HÔRMANDER [9], mais ce lemme est de nature très élémentaire. On va utiliser le résultat suivant bien classique quand n = = i .

LEMME 11. — A f holomorphe au voisinage de l'origine de W et de série de Taylor Vûa.^, on associe la série de Taylor ^ ( --—- ) 'a^.z^= 0^(/').

-^— ^— \ K . e 7

r2^ A. MARTINEAU.

Soit p une norme complexe. Si feE^n,^(W) [resp. f^E^^W)], 0^(f), regroupée en série de polynômes homogènes ^ ( - ^ j ' P n ( f ' , z ) , converge

•^— \ K . e /

n

dans £o^,p(W) [mp. dan5 ES.p(W)] vers S/^f). L'application f->&(f) e7a&Zi7 un isomorphisme entre ES,iî,p(W) et E^,p(W) [resp. en^re Ej?,p(W)

^ J%p(W)] gui commute avec l'opération de restriction à un sous-espace complexe de W; Sk ne dépend pas du choix d'un système de coordonnées.

Démonstration. — Si /'çE^p, / e k \ⁿ^

(71) "/^llflk^-^^) po^r tout A > j R d'après (39), donc

/ ^ \ /.- ^

(72) F ~ p ) ' ^ ^iJ/lkF'^ P\ "• • e / ⁰^ ^tout A > - R , v^ / n \^

donc ^ ( ,— 'Pn(f', z) est une série convergeant uniformément absolu-

^•^ \ K . e /

n

ment sur tout compact de l'ouvert p(z) < J?-'. Réciproquement, si une série

^,Qn(z) de polynômes homogènes converge uniformément sur tout com-

n

pact de l'ouvert p(z) < J?-', on a

(78) sup Qn(z)\^M(A).An pour tout A > j R .

F (--5^i.

/A* 6 ^

Donc la série de polynômes P/,(f; z) ^ ( — ) ' Q n converge dans -E^.c.

Ceci démontre l'isomorphisme dans le premier cas. Il en est exactement de même dans l'autre cas. Enfin la restriction de Pn(f\ z) à V, si V est une sous-variété complexe de W, est la partie homogène de degré n du développement de la restriction de f à V. Il en résulte la commutation de l'opération de restriction avec S/,. Un polynôme homogène P, de degré n, est caractérisé par le fait suivant, Pp.. z) == )/'P(z), parmi

/ n V

les fonctions entières et S/,(P) == ,— -P ne dépend pas du choix d'un

\ K. . e i

système de coordonnées. Ceci reste vrai pour toute fonction.

c. Q. F. D.

Démonstration du lemme 10. — Appliquant S^ on est ramené au fait suivant bien connu (H. CARTAN) : Si ^ est un ouvert convexe (resp. un compact convexe) de W, espace vectoriel complexe de dimension finie, et si V est un sous-espace linéaire de W, la restriction à Vni^ de H(^) est égale à l'espace des fonctions holomorphes dans l'ouvert V n ^ de la variété V.

On peut donner une démonstration élémentaire de cette propriété basée sur la représentation intégrale de J. LERAY (formule (no)] du moins dans les hypothèses que nous venons d'adopter.

LEMME 12. — Soit YcW, sous-espace vectoriel norme de W, espace vectoriel complexe de dimension finie. On note par p la norme de V, par o- celle de W. Les polynômes nuls sur V sont denses dans le sous-espace des fonctions de E^a(W) [resp. £^c:(W)] nulles sur Y.

Démonstration. — II suffit de démontrer ce lemme quand V est un hyperplan. On choisit des coordonnées, et l'on suppose que Y est de la forme Zn== o. Si f entière s'annule sur Y, elle est de la forme f==Zn.g.

Il reste à voir que ^eEi^(W) [resp. gçE^,a(W)]. Soit <I>(S) holo- morphe au voisinage du disque i ^ i ^ i . Par l'inégalité de Schwarz, on sait que

(74) [ < I » ( Ç ) | ^ ; | Ç | . s u p ]<Ï»(0 .

!^!=i

Donc, appliquant ceci à <t>(Ç) == f(z^ .. ., 2//_i, Ç.^), on a (75) | g ( z ) \ ^ sup^ f(z^ .... Ç\2.) ; ^K.exp(A(p(z) + a)/- si \f(z) ^K.exp(Ap(z)y, où

a = sup p((o, . . . , o, Ç')),

! ^ 1 = 'i

ce qui assure évidemment que g appartient au même espace fonctionnel que /'. Maintenant g est limite d'une suite P,, de polynômes dans E^(W) [resp. EU^A^(W)] (proposition 4), donc f== lim z/,.P/<.

n ->- xî

C. Q. F. D.

LEMME 13. — Soient YcW, un sous-espace vectoriel norme de W, espace vectoriel complexe de dimension finie, et p, cr les normes de Y et W.

Soit u Uinjection de V dans W. Alors 0 e (E^ ^(W))' [resp. 6 e (E;f ^ a(W))']

est de la forme 0==u(T) où Te(£^p(Y)y [resp. T(=(£;^p(Y)y] si et seulement si ^ © est constante sur les fibres de u ' . Il revient au même de dire que 0(f)==o pour toute fonction f de E^ ,p(W) [resp. de E^n ^(W)]

et nulle sur Y.

Démonstration. — Notons par r l'application de restriction, qui admet (T^u(T)) comme transposée. L'application est surjective d'après le lemme 8, donc u a une image fermée, car nos espaces sont simultanément des (CD^) ou des (5^) [7]. En conséquence, cette image est connue par son orthogonal, à savoir le noyau de r. Il reste à voir que ©(/')= o pour toute /* telle que r(f)=o équivaut à : ^ 0 est constante sur les fibres

l3o A. MARTINEAU.

de u^ Or 0(f) == o si et seulement si, d'après le lemme 12, ©(p) = o pour tout polynôme p nul sur V.

Si l'on choisit un système de coordonnées (^i, . . . , Zn), V, défini par Zn=... =Zn-k+ï= o, alors ^0 ne dépend pas des dernières coordonnées.

Réciproquement, si ^0 ne dépend pas des dernières coordonnées, cela signifie que sa série de Taylor à l'origine ne dépend pas des k dernières variables, ce qui d'après la formule (58) et la définition des Cy. signifie que 0 est orthogonale à tous les polynômes z^ où a == (ai, . . . , a/;) l'un des a/ p o u r j ' ^ n — À + I étant différent de zéro, donc est orthogonale à tout polynôme s'annulant sur V.

c. Q. F. D.

Démonstration du théorème 1. — Soit p une norme complexe, on peut

A'

trouver p.j, norme quotient d'une norme V \Zi\ aussi voisine qu'on peut

i=-i

de p, telle par exemple que p ^ p i ^ ( i + Op (cf. [16]).

Nous notons l'ensemble des telles normes pi par T. Soit q l'application surjective de l'espace (C^, || ||i) sur l'espace (Y, pi), de passage au quotient, et soit q ' sa transposée, injective de (V, p;) dans (C^, || ||^).

D'après le lemme 8, la transformation de Fourier-Borel établit un isomoïphisme entre Ê ^ ( ( ^(C^) et (£(^()^).T?)'J[ ((.((P)/. D'après le lemme 7, £^p,(V) s'identifie à l'ensemble des fonctions de E^[[ ^(C^) constantes sur les fibres de q. Soit f un élément de cet espace. Il existe un élément © de (E^^^).RY.\\ ^(C^))' tel que ^0==/'. Alors nous savons que 0^est de la forme q ' ( T ) où Te (Eo^a^.T^piWy ë^^ au lemme 13.

Enfin, grâce à la formule du lemme 9, on a f= ^ T o q ce qui montre que ^ est injective de (Eo^aw.^pî^y sur ^piW- Le théorème

est démontré avec p'j. Sa validité en résulte pour toute norme complexe car, par exemple, du cas déjà démontré, on déduit

(76) (^,,p)' = \^J E^y,^ = E^.ny,r^

( 7 € % o'^P

Tous les autres cas s'en déduisent de façon analogue.

c. Q. F. D.

COROLLAIRE. — « Représentation de Pôlya ».

(a) Si fçES,îî,^V), il existe une mesure ^, définie sur Y', telle que, pour tout A«7(/c)..Ry, | ^ |.exp (Ap^u)^ soit bornée et telle que (77) f(z)= f exp<^, u^d[J.{u) si k 7^00.

J r

(b) Sans hypothèse sur k, si feÊ^p(y), il existe une mesure ^ définie sur V, telle que | ^ ] . exp (A p' (u)/ soit bornée pour un A supérieur à (?. (k). Ry et telle que

(78) f(z)=( exp<z,u>d^(u).

J y .

Démonstration, — On utilise les propositions 2 et 3 sur la représentation du dual de

£^?.7^^F'(^

) [^P-

E^aw.iîy,^

puis le théorème 1.

c. Q. F. D.

Dans l'article [17], j'ai énoncé un lemme de décomposition (p. 42) manifestement erroné. Il est aisé de le reformuler de façon raisonnable.

Je m'inspirais du classique lemme de décomposition de A.J. MACINTYRE [2]

(p. 80).

LEMME 14 (MACINTYRE). —- Supposons V/ recouvert par des cônes convexes Ti, . . . , I\ de sommet de l'origine et d'intérieurs non vides. SoitT^

le cône dual, c'est-à-dire le cône des z tels que Re < z, u )> ^ o pour tout u e Ty ; on notera de façon plus générale par T^- le cône défini par

(79) r ^ f ^ R e ^ u ^ a p ^ p ^ V u e r y } .

Soit maintenant fe£^(V) [resp. fçE^jî,^(V)]. Il existe des fonctions fj telles que:

i° r=2^;

/

20 f/^tpW l^P- ^e£o^p(V)];

3° f/ est bornée sur 1^. Plus généralement si k 7^ i, oo, pour zç. 1^.

(80) | î , (z) | ^ K, (B). exp (À (/c')-1. a. B. p (^)y, pour ^ou^ B> R dans le second cas.

(81) \f,(z) ^K;(B).exp((À(^)-'.a.B).p(z)^

pour un B <R dans le premier cas.

Lorsque k==i, (81) reste valable et on l'appliquera aux deux situations.

Quand k=co, on doit interpréter comme suit :

Dans le second cas, // est holomorphe dans l'ouvert p(z) <-R, dans l'inté- rieur de l'ensemble I^n { p(^)^ i / - R a } et dans l'intérieur de 1^.

Dans le premier cas, elle est holomorphe au voisinage du compact p (z) ^ jR et dans un voisinage de chacun des compacts I^n {p(^)^i/-Ra j.

I^2 A. MARTINEAU.

Démonstration. — II est commode d'utiliser la représentation de Pôlya contrairement au plan de [17].

On a f==^T où Te (^.^(V)/ [resp. Te(^(,(,,^p,(V^/))^/].

Si k^co, donc k-^-i, il est possible dans le second cas de trouver des ^/,

^.y telle que son support soit dans Fy et telle que ^ |.exp (Ap^u))^ soit bornée pour tout A < (/(Â').J?)-', telle enfin que ^ = V ^ y représente T.^' Nous considérons alors /

/'/=-Jexp<2, u>d^(u).

Pour zel^, on a Re<z, u > < a . ^ ( z ) . o ' ( u ) . Cette intégrale, si ^ 7^1, donc A" 7^ oo, définit une fonction entière.

On a pour tout A <(À(Â-).J?y :

(82) [ f, (z) ^ exp (sup (a. p (z). o' (u) — (A. p^))^)) x|]^•.exp(A.pA(u))^||,

soit

/ / n nf'A'^/ T \ 1 / ^ ' — 1 \

(83) f.^^K^.exp^^P)^) .(i-i/A'))

/ / y 7 ?^———1 \ ^

^^(^.exp^—F'-.p^.

Lorsque k==co, on voit que l'intégrale converge lorsque a . p ^ V ^ - A . p ^ ^ a . p ^ - A ) . ? ^ ) reste négatif, donc pour

°(2) < ^ < pA i dans 1e cône r?-

Les autres cas se traitent par des modifications évidentes. La raison de la différence de k = i avec k fini tient à la proposition 3.

c. Q. F. D.

7. Théorèmes de division.

Partant d'une remarque que m'avait faite B. MALGRANGE, je vais démontrer les théorèmes de division sur les fonctions entières, dont nous avons besoin, en utilisant le fait que FfG est sousharmonique sur les droites complexes issues de l'origine. En fait, V. AVANISSIAN [l], en utilisant une idée de P. LELONG et les propriétés des moyennes des fonctions plurisousharmoniques étudiées par celui-ci dès ig5o [11], apporte une simplification notable en donnant une démonstration fondée sur les seules propriétés des moyennes. La méthode que j'avais donnée

dans [17] passait par l'intermédiaire des produits canoniques à une variable [2] et, pour passer au cas de n variables, utilisait la structure des indicatrices de croissance.

Si g est une fonction définie dans le plan complexe (je n'ai pas dit une fonction holomorphe !), nous noterons M (g; Zo, r) la moyenne de g sur le disque de centre Zo et de rayon r par rapport à la mesure de Lebesgue.

LEMME 15 (module minimum). — Soit Ç h> G(Ç) une fonction entière d'une variable complexe Ç et satisfaisant à une majoration,

| G(0|^K.exp(A Ç y, G(o)^o.

Alors, pour tout À > o, on a

(84) M ( l o g | G ; z ; À ^ | ) ^ f i ±A) G ( o ) + . . .

\ Â /

+(

-(

^)

)

<

l

pour tout A ' > A et z\ assez grand, précisément \z ^Zo (K, A¹) où /^(sup^.i))^

z,(K,A)-[^ ^,_^ ) •

Démonstration. — Posons ^ = = l o g | G . Pour A'>A et si . / / logK ^V'A-

z ^ [ ^ { A ^ — A ^0) ) 9 on a

(85) v—(A\\z\/>)<o.

Supposons ceci réalisé, et posons J ? = = ( i + / ) . z où / > o, puis (86) ^=^—{A'.R)\

on a l'inégalité

(87) RÎ. M ( vr' , o ; R ) ^ ^ \ z \ yl. M ( vf' , z ' , À . z | ) , car on intègre une fonction négative.

D'autre part, ^ est une fonction sousharmonique, donc on a (88) ^(log G(o) [—(A^y^J^.MC/; o; R).

Il vient donc

(89) P [ M ( . ; z ; À ^ ) — ( A^/. J ? )^{^}] ^ ( I + / . )²( l o g i G ( o ) —(A^y), d'où

(90) ^(^^^^^^(^y.iogiG^)

+ i-(

C. Q. F. D.

i34 A. MARTINEAU.

THÉORÈME 2 [1]. — Soit F entière dans le plan complexe. On suppose

| F(z) | ^K.exp(A z I/-. Soit G entière telle que FI G soit entière, G(o) -^ o, et telle que G(z) ^L.exp(B\z\y. Pour tout A ' > A , R>B et

\z\^s\ip(zo(K, A'), Zo(L,B% on a l'inégalité (9e/) F/GOO|^|G(o)r^2

xexp

(J(A-(i+/)y-

+((i+7)B7(

^-i+r -i)J 1 . 1 ) . M^i iV

Démonstration. — La fonction F/G étant entière, log F/G| est sous- harmonique, donc

(91) log F I G ( Z ) [ ^M(log [ F/G ; z, 7 z |) et il vient

(92) M(log\FIG\;z,A\z\)^M(log\F\;z',l z )—M(log| G|; z, 7|z|).

Ceci nous donne d'après le lemme 15, pour z \ ^,_ sup(2o(K, A'), z,(L, B')) (go-) log|F/G(z) '((A^i + ^+ ((-^Y-i) (^(i + W'

X z | . _ f l + ^ Y l o g ] G ( o ) [ .

C. Q. F. D.

COROLLAIRE 1. — Soient F et G deux fonctions entières définies sur V, d'ordre fini k et de types A et B relativement à une norme complexe p. Si F/ G est entière, c'est une fonction entière d'ordre fini k et de type inférieur à (93) inf[(A(i+ W+(B(i + ^(('-^y-/

En particulier, si B=o, le type de F/ G est égal à A.

Démonstration. — On a des majorations

| F(z) \^K(A')^{Al^z))k, G(z) | ^L{B')^(B'^(z)Y pour tout A ' > A , B'>B. Soit Zo un point où G(zo)==o. On a

(94) P (.) —— P (Zo) ^ P (2 + Zo) ^ ? (Z) + P (.0),

donc

(95) lim P^+^=i.

POO

p(^»

Donc les fonctions F(z—Zo) et G(z—Zo) sont d'ordre k et de types inférieurs à A et B par rapport à p. Posons (c'est la méthode de MALGRANGE [14]) :

(o6) K^)=F^•(^-^)'L^ ,)-, ( 9 ) (^-(^G^-zo)).^"^"1-

On a, pour tout couple A ' > A , B'>B, t assez grand mais uniformé- ment en z :

IMOI^<'(A').exp(A'|Ç|y,

<MO ^L'(B').exp(B' Ç|y.

(97)

Donc d'après l'inégalité (98) : (98) log|f,(Ç)/^.(01

'(A'(I + ?.))<•+(( i±Ay--^ (B'(I + 7))*) ç i^-

^yiog G, (o)i

pour | Ç ^(z,,(K',A7), z » ( L ' , B ' ) ) .

Donc ^(z—z,i)/G(z—Zo) est de type inférieur ou égal à

((A'(I + w+ (B'(I + ^((.'-py-i))^

quel que soit A ' > A , B' > B, ?i > o. Il en est de même pour FfG(z).

Notons par a(ff) le type d'une fonction H.

Si 5=o, /, étant fixé ainsi que A ' , il résulte de (98) que a(F/G)ï=A'(i+/,), donc :

(99) "(F/G)^A.

Mais on a clairement

(100) a(G.(F/G))^a(F/G/+ a(G)^,

d'où l'égalité, c. Q. F. D.

Ce théorème a été démontré pour la première fois à n-variables par B. MALGRANGE (type exponentiel) et L. EHRENPREIS (ordre fini) sous la forme : Le quotient de deux fonctions entières d'ordre fini et de type moyen est une fonction entière d'ordre fini et de type moyen. Le cas très utile de B==o pour une variable est un théorème de G. PÔLYA (cf.[2],p. 191, et [20]).

L'extension aux fonctions de n variables de la théorie des produits canoniques, donnée par P. LELONG [11], permet une méthode directe, prolongeant à n variables celle de LINDELÔF.

l3^î A. MARTINEAU.

8. Applications aux équations de convolution.

Considérons l'espace £^(V) [resp. £'f;(V)]. Son dual, comme nous l'avons vu, est une algèbre de convolution.

Soit Tç(Ek(V)Y [resp. Te (£;;(¥)/]. Nous nous proposons de montrer que les résultats précédents ont des conséquences importantes pour l'équation linéaire f * X = Y , où XçE^ (resp. XçE^), YçE^

(resp. YçE^). L'opérateur X-^f^X est évidemment défini par la relation

( 1 0 1 ) < T ^ X , 0 > = = < X , T * © > .

L'application transposée de X-> f -k X est alors par définition l'appli- cation 0 — T * 0 de (^(Y)/ dans (E^V))¹ [resp. de (E^V))' dans (E^(V)y ]. La méthode que nous suivons est celle de SCHWARTZ [2l], [14].

Utilisons l'isomorphisme de Fourier-Borel :

^((EU^n-^W.

V I 7 (^((E^V^^E^V^

L'application devient ^ O — ^ T . ^ O . C'est une application injective, d'autre part elle est d'image fermée, grâce au corollaire du théorème 2.

En effet, si x est un point de V^F au voisinage duquel une fonction de E^' (V) [resp. jE'^V7)] est holomorphe et si fy. est un filtre convergent vers fo, ^z(fa) la série de Taylor en x de fa converge vers ^(fo) pour la topologie de la convergence simple des coefficients. Donc il en résulte qu'une limite de fonctions de la forme ^ T . f a a sa série de Taylor, en chaque point où elle existe, divisible par celle de ^T. Soit gçE^^V) [resp. gç.E^{V')} telle que cette propriété soit vraie en chaque point de Y ' où toutes les fonctions de E^ (V) [resp. de £'{,"( V')] sont holomorphes Alors gfT est dans tous les cas holomorphes en tous ces points [14], et donc, si ^=00, gITçE^ÇV) [resp. g I T ç E ^ ^ ) ] , et si Â^X), g|TçEkl(yf) [resp. gJTçE^V1)] d'après le corollaire du théorème 2, c'est-à-dire que g est un multiple de T.

Nous avons donc montré les deux propriétés. Dans E¹'¹(V) [resp.

dans ^'(V7)] :

(a) L'idéal des multiples de ^ T est fermé, donc l'application 0 —^ T * (") est injective et d'image fermée, ce qui entraîne, nos espaces étant soit des (c^cS), soit des (^cS), que sa transposée est surjective (').

(b) Sauf dans la situation de E'(V), une fonction appartient à cet idéal si, et seulement si, sa série de Taylor en tout point de V est divi-

(') La théorie des Fréchet-Schwartz et des duals de Fréchet-Schwartz est élémen- taire.

sible par celle de ^T; dans le cas de Ey (V), c'est vrai si, et seulement si, sa série de Taylor à l'origine est divisible par celle de ^T. Mais ceci, selon MALGRANGE [14], veut dire qu'une telle fonction est orthogonale à l'ensemble des exponentielles polynômes de l'équation T*X=o.

Donc cet orthogonal est juste, TiçÇE^)' [resp. T*(E^)'].

Il vient donc le théorème suivant : THÉORÈME 3.

(a) L'équation f^X=f, où fçE^V) [resp. fçE^(V)] si TçÇE^V))' [resp. Te(£;i(V)y], admet toujours une solution dans le même espace fonctionnel.

(b) Toute solution de l'équation f *X= o est limite des solutions expo- nentielles polynômes de l'équation homogène.

Ce théorème, pour k=co dans le premier cas est dû à B. MALGRANGE [14]. Il est possible de préciser le type de X en fonction de celui de f à l'aide du théorème 2.

Maintenant, appelons opérateur différentiel (à coefficients constants) relativement à l'ordre k tout élément T de (E^.

Donc, un opérateur différentiel relativement à l'ordre k est un opéra- teur dont la transformée de Fourier-Borel est une fonction entière d'ordre k ' et de type zéro. Une équation aux dérivées partielles à coefficients constants est dans ce cas quel que soit l'ordre.

Les raisonnements précédents s'adaptent immédiatement. Le corollaire du théorème 2 dans le cas B=o donne donc ceci :

THÉORÈME 4. — Si T est un opérateur différentiel d'ordre infini relative- ment à l'ordre k alors, pour tout R, tout p,

(a) r*£o'7?,pC£o'7?,p (resp. T^Ei^cEi^.

(b) L'application f->f^f est surjective dans chacun de ces espaces fonctionnels.

(c) Les exponentielles polynômes du noyau sont totales dans le noyau.

Démonstration. — Traitons seulement de £^p. L'assertion (a) est évidente grâce à l'isomorphisme de Fourier-Borel. Le point (b), ainsi que (c), résultent des faits suivants :

(Ei^Y^E^wçAV')

et une fonction de E^^^^y^ÇV) est de la forme jf.^T, où f appartient au même espace si, et seulement si, elle est divisible en chaque point par ^T. Remarquons à nouveau que ce théorème s'applique à toutes les équations aux dérivées partielles et à coefficients constants pour tout /c^i.

i38 A. MARTINEAU.

Voici deux cas extrêmes :

k =00 :£'}/,? (resp. E^R,^) est l'espace des fonctions holomorphes au voisinage du compact p(z)^7?-1 [resp. dans l'ouvert p(z)^J?-1]. T est un opérateur différentiel d'ordre infini.

 - = I :E^,/?,^ est l'espace des fonctions entières de p-type exponentiel R.

On pourra prendre pour T n'importe quel opérateur aux différences et même par exemple un opérateur du type suivant :

4- 33

(io3) T=^^à(zn),

où An ^(Zn) est à décroissance plus rapide que toute exponentielle.

On aura dans ce cas :

Étant donné f du type exponentiel et de p-type R, il existe g du même type telle que

O^) f==^^-9^—Zn),

n

la série convergeant dans E^.n^ et a fortiori pour la convergence normale.

Notons que si ^T est sans zéros, il y a unicité de la solution. Il y a évidemment de tels opérateurs non triviaux, c'est-à-dire distincts du cas de la translation dès que k < 2, à savoir les T telles que ^ T= exp a(z) où <7 est un polynôme de degré supérieur à i.

Dans le même ordre d'idées, on a, par exemple, le théorème d'unicité suivant :

PROPOSITION 7. — Soit ^ une mesure positive sur R'\ telle que p. expAp(3;) soit bornée pour un A. Il existe un B tel que toute solution de F équation

p. */'=o où f^Ee,, (resp. feE^,^)

est la solution nulle. En plus, si fJ-.exp A^(x) est bornée pour tout A >o, l'application f^y-^kf est un isomorphisme de E^p sur lui-même (resp.

(resp. de E^p sur lui-même).

Le nombre B est évidemment le rayon de la plus grande p-boule ne contenant aucun zéro de 5^, et 5^r|JL(o)>o, donc B > o. En exemple, prenons la mesure e~1 AT où | X est une norme euclidienne, dX désignant la mesure de Lebesgue attachée à la forme quadratique X [².

L'application

(105) ^ ^ ^ yl^ + u ) . e - ' " l^d u a pour inverse

(106) ^(^^ f g^+iuYe-^^du (f,gçE1).

\ ) J^n

Dans le cas des espaces E,;,7?,p (resp. £Â,p), il convient de noter que les résultats connus sont beaucoup plus complets. En effet, d'après H. CARTAN [4], un idéal fermé dans l'un des espaces E^x, . . . est caracté- risé par sa fermeture algébrique, donc, dans ces espaces, F ensemble des solutions exponentielles polynômes d'un système homogène quelconque d'équations de conuolutions est dense dans l'ensemble de toutes les solutions.

Ce genre de remarque a été utilisé pour la première fois systématiquement par B. MALGRANGE dans son « cours Peccot » au Collège de France.

DEUXIÈME PARTIE.

Compléments dans le cas des fonctions entières de type exponentiel : La transformée de Laplace projective.

9. L'indicatrice projective de Fantappié.

La lettre V désignant toujours un espace vectoriel complexe de dimen- sion finie, P(V) sera le projectif obtenu à partir de V en lui ajoutant ses points à l'infini, V sera le dual de V, et PÇV) le projectif associé à V.

Nous noterons par (Ço, z) les coordonnées homogènes d'un point de P(V), zçE, Ço€ C, par (^o, 0 celles d'un point de P(y/).

L'hyperplan de P(V), associé à (^o, t), est défini par l'équation

(107) E o . Ç o + < ^ S> =o,

et noté par Ç.

Cette correspondance sera dite dualité pour une raison évidente.

Soient z->(z.i, .. ., Zn) des coordonnées choisies dans Y, et^-^(^i, . . . . ^/) les coordonnées duales dans V.

Soit jt

(108) 7r(z)=dz,A...A^, ^ ( 0 = ^ ( — i ) ^ / ^ , A . . . A 4 y A . . . A ^

et soit

(109) CT(Ç, z)==^(^)/\7r(z).

La forme

^ ^ ^V (—i)^/^,A » • . A ^/A » • . A dî,n/\ dz, A . . . A dzn

«2, ç> + ^Y ^ (z^ +... + ^+ ^Y

est homogène de degré zéro en E,, donc dans le complémentaire dans yxP(y^) de l'ensemble des points < ( ^ , Ç ^ + £ o = o elle définit une forme différentielle. Nous orientons un ouvert ^2 de G" par la condition

^,^-)A^)^o.