Tangentes entières
Problème D272 de Diophante
On s’intéresse aux polygones convexes de n côtés dont les tangentes des angles au sommet sont toutes des nombres entiers relatifs finis. Quelles sont les valeurs possibles de n ? Quels sont les polygones pour lesquels les tangentes des angles au sommet sont des entiers distincts entre eux ? Justifier vos réponses.
Solution
Rappelons que la somme des angles extérieurs d'un polygone convexe (orientés, tous positifs) vaut 2π.
Appelons profil d'un polygone convexe A1A2 … An l'ensemble, ordonné circu- lairement, des angles ai des vecteurs Ai-1Ai, AiAi+1, avec A0 = An et An+1 = A1.
Tous les ai ayant une tangente entière sont au moins égaux à π/4 et leur somme vaut 2π. Donc, n est au plus égal à 8.
Rappelons que arctg (1/2) + arctg (1/3) = π/4 ; d'où arctg (2) + arctg (3) = 3π/4.
Notons a un angle aigu générique ayant pour tangente un nombre entier p et A son complément à π, dont la tangente vaut -p.
Notons aussi, plus particulièrement, u, d et t les angles aigus ayant pour
tangente 1, 2 et 3 (qui valent 45° ; 63°,4.. ; 71°,5..) et U, D, T leurs compléments à π.
Ainsi on a : u = π/4 ; d + t = 3u ; U = 3u ; D + T = 5u.
Pour répondre précisément à la première question posée, constatons que le nombre n peut prendre toutes les valeurs de 8 à 3, en proposant un profil pour chaque valeur de n :
P8 = (u, u, u, u, u, u, u, u) P7 = (u, u, u, u, u, d, t) P6 = (u, u, d, d, t, t)
P5 = (u, u, u, D, T)
P4 = (x, y, X, Y) avec tg (x) et tg(y) entiers positifs P3 = (U, D, T)
Ce ne sont là que certains exemples, non exhaustifs (voir l'annexe).
La réponse précise à la deuxième question posée consiste à trouver tous les
profils dont les éléments sont tous distincts.
Il n'y a que deux triangles de profils (U, D, T) et (U, T, D) ; une infinité de quadrilatères de profils (x, y, X, Y), (x, y, Y, X), (x, X, y, Y), (x, X, y, Y), (x, Y, y, X) et (x, Y, X, y), avec tg (x) et tg(y) entiers positifs distincts, et enfin une infinité de pentagones de profils (u, d, t, a, A), selon les 24 permutations circulaires, avec tg(a) entier supérieur à 3. C'est tout !
Annexe
Voici, sous réserve d'exhaustivité, tous les profils que j'ai trouvés : - un seul octogone : (u, u, u, u, u, u, u, u) ;
- 15 heptagones : (u, u, u, u, u, d, t) et ses permutés circulaires ;
- 10 infinités d'hexagones : (u, u, u, u, a, A) et ses permutés circulaires ; - 15 hexagones : (u, u, d, d, t, t) et ses permutés circulaires ;
- 6 pentagones : (u, u, u, D, T) et ses permutés circulaires ;
- 24 infinités de pentagones : (u, d, t, a, A) et ses permutés circulaires ;
- 6 doubles infinités de quadrilatères : (x, y, X, Y) et ses permutés circulaires ; - 2 triangles : (U, D, T) et (U, T, D).
Par ailleurs, voici une preuve de l'unicité du triangle, à une symétrie près.
Soit trois angles a, b et c dont la somme vaut 2π. Notons A, B et C leurs tangentes respectives, supposées entières et en ordre croissant. Alors tg (a+b+c) = 0 entraine A + B + C = ABC. Si A > 1 alors le premier membre n'excède pas 3C et le second vaut au moins 4C, donc nécessairement A = 1, puis B = 2 et C = 3.
