N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
P. A PPELL
Sur les courbes dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire
Nouvelles annales de mathématiques 3e série, tome 11 (1892), p. 115-119
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SUR LES COURBES DO\T LES TAKGEXTES APPARTIENNENT A UN COMPLEXE LINÉAIRE;
PAR M. P. APPELL.
Les tangentes de toute cubique gauche appartiennent à un complexe linéaire, comme il est Lien connu; pour que les tangentes d'une biquadratique gauche unieur- sale appartiennent à un complexe linéaire, il faut et il suffit, comme il est également connu, que les expres- sions des coordonnées d'un point de cette courbe en l'onction rationnelle du quatrième degré d'un para- mètre À puissent être amenées à ne pas contenir A2.
D'une manière générale, si l'on pose
\n — «ri A" l -+~ <
(i)
0 7 A "
b{) A"
c()ln -+- o X"-1 -h r2 A a o À " -i- a j À " -1 -r- a2 A
les lettres a^ b^ c/f, a^ désignant des constantes et n un nombre quelconque, la courbe décrite par x,jr, z, quand 7, varie, est telle que ses tangentes appartien- nent à un complexe linéaire. Cette courbe donne les cubiques et les biquadratiques dont il est question plus haut, si l'on suppose n ==• 3 ou zz = 4-
En résolvant les équations (i) par rapport à A", A"~',
A, on a
X __ _Y _ Z _ T (*) Te " \^~^ ~" A ~ i '
( . . 6 )
X , Y, Z. T étant des expressions linéaires en x, y, z^
que nous p r e n d r o n s comme coordonnées t é t r a é d r i q u e s d ' u n point. Les é q u a t i o n s ( 2 ) d o n n e n t la r e l a t i o n
qui m o n t r e q u e la c o u r b e est sur u n e surface d u second o r d r e . Q u a n d n est e n t i e r , les génératrices de l ' u n des systèmes r e n c o n t r e n t la c o u r b e en un p o i n t , celles de l ' a u t r e en (/z — 1) p o i n t s .
P o u r que le plan
( 3 ) AX -r- BY + GZ -r- DT = o soit osculateur à la courbe au p o i n t
Xo Yo Zo To
de p a r a m è t r e Xo, il faut et il suffit q u e l'équation A X" -:- B X«-l — G X -r- D = o
admette la racine t r i p l e Ao-, ce q u i s ' e x p r i m e p a r les trois c o n d i t i o n s
AXg -j- BÀJ-1 -+- CXo-1- D = o.
n VXg-i -1- (« —1) BXg-2-i- G = 0,
/ J A X J 2- 4 - ( / Î — 2)BXg"3 = O,
d \ ) ù l'on tire
B _ n -, G n . „_, D
le plan osculateur a donc pour équation
ou bien
",, T\.
( " 7 )
Cette dernière équation est celle du plan focal d'un point (Xo, Yo, Zo, To) dans un complexe linéaire; ce qui démontre la propriété annoncée.
On vérifiera sans peine qu'aux deux points "k = o et A ~ ce le plan oscillateur et la tangente ont, en gé- néral, avec la courbe des contacts d'un ordre plus élevé qu'en un point ordinaire.
En faisant, dans les équations (i), tendre «vers zéro, après avoir posé
t <('o
(( ,. = <7 v- ,
on trouve la courbe
of0 l o g X -H a ! ). -1 -4- a- A 'o l o g À -f- « ! A "1- H a-2X
qui est la transformée homograpliique d'une hélice tra- cée sur un cylindre de révolution; en effet, les coor- données .r', y', z' d'un point de l'hélice sont données par
d'où, en posant e'°= A,
/pf _4_ j / j — R )s .rF — ^ / ' i — R X -1. / V — X. l o g À.
On obtient, par un procédé analogue, une courbe li- mite pour n = 2 et n = 1.
Remarque. — Considérons la courbe qui, en coor- données tétraédriques, a des équations de la forme
t étant un paramètre variable, a, p, y des constantes;
pour que les tangentes de cette courbe appartiennent à un complexe linéaire, il faut et il suffit, comme on Je vérifiera, que l'un des exposants a, |3, y soit égal à la somme des deux autres : par exemple
En posant alors W = X, - = n, on a
\ _ Y _ Z _ T }Ji - îJTTi ~ J - 7 '
c'est la courbe ci-dessus.
Pour exprimer que les tangentes à la courbe (/j) ap- partiennent à un complexe de droites du premier ordre, il suffit d'exprimer que la transformée homographique de cette courbe
^ O ; Cl — c 5 y • l -, -J — t
possède la même propriété, c'est-à-dire que x,y, z vé- rifient l'équation
\ a dx -h b dy -f- c dz 4- p( y dz — z dy )
(0) J J " J
( -+-q(zdx — x dz)-h r(x dy—ydx)=o,
où a, by c, P) ç, r sont des constantes convenablement déterminées, non nulles toutes à la fois. En substituant dans cette équation les expressions (5), on obtient une condition qui doit être une identité en t : il faut que dans cette identité deux ternies en t au moins aient le même exposant, car, autrement, il ne pourrait se faire aucune réduction. En exprimant que deux de ces expo- sants sont égaux et écartant le cas où deux des nombres a, £}, y sont égaux, cas qui donne des courbes planes,
on trom era que l'un des nombres a, [ï, *' doit être égal à la somme des deux autres.
