Enoncé A479 (Diophante)
Quasi équilatéraux parmi d’autres
On s’intéresse aux triangles non équilatéraux dont les longueurs des côtés sont des nombres entiers et les angles forment une progression arithmé- tique.
Q1 Donner trois exemples de tels triangles non semblables entre eux.
Q2 Démontrer qu’il existe une infinité de triangles non semblables entre eux qui ont cette propriété.
Q3 Démontrer qu’il existe une suite de tels triangles dont les dimensions se rapprochent de plus en plus de celles d’un triangle équilatéral. En d’autres termes le rapport entre le plus grand côté et le plus petit côté tend vers 1 quand leurs dimensions tendent vers l’infini.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Question 1
SoientA, B, C les angles du triangle,a, b, cles côtés opposés.
Supposons par exempleA < B < C et posons D=C−B =B−A < B. AlorsA+C = 2B =π−B = 2π/3, donc B=π/3.
Formons le rapport d’entiers t= 2b−c−a
c−a = 2 sinB−sin(B+D)−sin(B−D) sin(B+D)−sin(B−D) =
= 2 sinB(1−cosD) 2 cosBsinD =√
3 tanD
2 <1 carD < π/3.
Réciproquement, chaque valeur rationnelle 0< t <1 donne un angleDet une famille de triangles ayant pour angles π
3, π
3 ±2 arctan t
√ 3, et des côtés satisfaisant a
(3 +t)(1−t) = b
3 +t2 = c (3−t)(t+ 1).
Une telle famille inclut des triangles à côtés entiers, dont un triangle dont les côtés sont premiers entre eux dans leur ensemble.
Exemples : t = 1/2, (a, b, c) = (7,13,15) ; t = 1/3, (a, b, c) = (5,7,8) ; t= 1/4, (a, b, c) = (39,49,55).
Question 2
La propriété découle de ce que des valeurs distinctes de t fournissent des triangles non semblables (ils n’ont pas les mêmes angles), et ces valeurs sont en nombre infini.
Question 3
Une suite de valeurs rationnelles de t convergeant vers 0 par valeurs positives produit une suite de triangles dont le rapport c/a → 1 car c−a
c+a = 2t
3−t2 →0.
