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A479. Quasi-´equilat´eraux parmi d’autres Dire que les 3 angles forment une progression arithm´etique est ´equivalent `a dire que l’un des angles est de π/

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Academic year: 2022

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A479. Quasi-´ equilat´ eraux parmi d’autres

Dire que les 3 angles forment une progression arithm´etique est ´equivalent `a dire que l’un des angles est deπ/3. Par le th´eor`eme d’Al Kashi on est donc amen´e

`

a r´esoudre l’´equation diophantine : c2=a2+b2−a×b

Q1 : 3 exemples

a b c

3 8 7

5 21 19

11 35 31

Q2 : Nombre infini de solutions Premi`ere s´erie infinie :

a= 4×i+ 3

b= 12×i2+ 20×i+ 8 c= 12×i2+ 18×i+ 7

L’´equation diophantine est de degr´e 4; il suffit de v´erifier 5 termes.

i a b c

0 3 8 7

1 7 40 37

2 11 96 91

3 15 176 169 4 19 280 271 5 23 408 397 6 27 560 547 7 31 736 721 8 35 936 919 Deuxi`eme s´erie infinie : a= 4×i+ 5

b= 12×i2+ 32×i+ 21 c= 12×i2+ 30×i+ 19

i a b c

0 5 21 19

1 9 65 61

2 13 133 127

3 17 225 217

4 21 341 331

5 25 481 469

6 29 645 631

7 33 833 817

8 37 1045 1027

1

(2)

Q3 : Vers le triangle ´equilat´eral Troisi`eme s´erie infinie :

a= 3×i2+ 8×i+ 5 b= 3×i2+ 10×i+ 8 c= 3×i2+ 9×i+ 7

Les termes du 2`eme degr´e ont le mˆeme coefficient.

i a b c

0 5 8 7

1 16 21 19

2 33 40 37

3 56 65 61

4 85 96 91

5 120 133 127 6 161 176 169 7 208 225 217 8 261 280 271

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