N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
É DOUARD L UCAS
Sur un problème de Diophante
Nouvelles annales de mathématiques 2e série, tome 19 (1880), p. 278-279
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SUR UN PROBLÈME DE DIOPHANTE;
PAR M. EDOUARD LUCAS.
Trouver quatre nombres tels que leurs produits deux à deux, augmentés de Vunité, soient des carrés (Liv.IV, prob. XXI).
Voici une élégante solution du problème, qui déter- mine quatre nombres entiers en fonction de deux nombres entiers indéterminés r et s. Si Ton désigne par a, è, c, d\e$ quatre nombres cherchés, on a
a :_- r,
/; ~z s [ rs 4 - a ),
<•-.-_. [s -\- i {rs 4 - r-J~ 2 ) ,
™ 4 - /• H- I ) ( /^2 -f- ^ H- 2 .v -h I ) - (
En e
S/V7//4-1 y/ûrc - h I
/-...
ffet
i =
4 ( « H
/-.s' -f- i ,
rs + r
s 4- 4 '* 4- 2 r -f- i, -f- i —_ rjf2 4- rs + 2 J + I ,
W/ -ri : - 2 r2j3 -f- 4 r?52 H- 6 rs2 4- 2 r2.v 4- 8 rs -f- 4 * 4- 2 r 4- 3.
Ainsi, pour r = i et s = 2, on a
et
1 . 8 4 - 1 = - 32, 1. i 5 -+-1 = 4%
8 . i 5 - f - i r ^ n2, 8.5-28 4 - 1 = 65% 1 5 . 5 2 8
Existe-l-il un cinquième nombre e tel que a e - h i , be -+-1, ce •+-1, Je -f- i soient des carrés ?
11 y aurait lieu d'obtenir des formules analogues en remplaçant dans le problème précédent -4- i par — i, et de compléter ainsi le problème résolu à la page 323 du Tome X des Nouvelles Annales (ae série, 1871).
La solution précédente m'a été adressée dernièrement de Gothembourg par M. Boîje af Gennâs.
