Théorème sur quatre carrés

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

F AURE

Théorème sur quatre carrés

Nouvelles annales de mathématiques 1^resérie, tome 16 (1857), p. 342-344

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THÉORÈME SIR QUATRE CARRÉS,

PAR M. FAURE.

Capitaine (Tartillerie.

Théorème II est impossible de trouver quatre carrés tels, que la somme de trois quelconques d'entre eux dimi- nuée du quatrième fasse un carré. (EULER. )

Lemme. Il est impossible de satisfaire en nombres en- tiers à l'équation

2.r2 4- 2 /2 -h ixy = z1.

Si Ton pose

z =r x - f j -h ty .

on a

x" — 2 tx -\- j2 — f1 — 2 ty = o,

d'où

( 343 ) il faudra donc poser

Or l'on ne peut satisfaire à cette équation, puisque la somme de-deux carrés ne peut être divisible par 3 et que d'ailleurs k et y — t ne peuvent être à le fois divisibles par 3.

Revenant au théorème d'Euler, je suppose que l'on puisse avoir à la fois les quatre équations *

\

x* -f- j2 -f- z1 — t2 = a ,

On en déduit

^ — yl + 22H-^ = c2,

4 ^2 = a? -H b2 + c* — d~y

4 /2 = a2 + b1 — c2 -f- </%

4 2^ i= a ~ bl •+- c* •+• d\

D'où il résulte que des quatre nombres a, b , c, J deux sont nécessairement pairs s'ils ne sont pas tous impairs On pourra donc poser

a ~\- b — c — d = 2 B ,

a — b 4 - c ~ r f = 2 B ,

— a -f- b -f- c — rf~2B, d'où

2c m A — B + C H~D, 2 r / = . A — B —C — D

(.344) Le système (2) devient ainsi

2 = (A-4- B)' -t- (C — D)2 + ( A - B ) ( C + D)r

i6z² = (A — By -+- (C -+- D)⁵ + (A + B) (C — D.),

—D).

L'une des équations (1), la première par exemple, de- vient

( C - . D)J-H 2 ( A - f B ) ( C ~ D) — équation impossible d'après le lemme.