Problème des deux cafards. Solution
Sur un sol plan, une tache lumineuse circulaire, de rayon R, se déplace d’un mouvement uniforme rectiligne à la vitesse V.
A l’instant t0, elle commence à éclairer un point P sur le sol. Un peu plus tard, à l’instant t1, elle cesse d’éclairer le point P.
Deux cafards, assimilés à des points, se déplacent sur le sol à des vitesses constantes en module, V pour l’un et W (supérieure à V) pour l’autre.
A l’instant t0, ils sont au point P, et, pour fuir la lumière, partent chacun d’un côté de la tache lumineuse tout en restant sur son bord.
A l’instant t1, ils se retrouvent au point P.
Sachant que R= 50 cm, quelles distances ont été parcourues par les deux cafards ?
A l’instant t0, le centre de la tache est en A0, en A à l’instant t et en A1 à l’instant t1.
On prend A0 A1 comme axe xx’ et la perpendiculaire par P comme axe yy’.
Commençons par le premier cafard, noté M, qui se déplace à la vitesse V.
On note a0 l’angle A1A0P, a l’angle A1AM et a1 l’angle final xA1P.
Penons t0 comme origine des temps.
A l’instant t, les coordonnées de M sont x = R.cos(a) - R cos(a0) + V.t
y = R.sin(a)
dx/dt = V – R.sin(a).da/dt dy/dt = R.cos(a).da/dt
d’où la vitesse V² = (V – R.sin(a).da/dt)² + (R.cos(a).da/dt)² qui s’écrit da/dt (2V.sin(a)-R.da/dt)=0
La solution da/dt=0 soit a=a0 ne convient pas car M ne revient pas en P.
On a donc 2V.sin(a) = R da/dt soit 2V.dt/R = da/sin(a) qui s’intègre en 2V.t/R = Ln( tg(a/2)) – Ln(tg(a0/2)) puisque à l’instant t=0 a=a0
Pour a= pi/2, t= t1 / 2, x=0 donc V.t1 / 2 = R.cos(a0) = -R/2 . Ln tg(a0/2) a0 est fourni par l’équation 2.cos(a0) = - Ln tg(a0/2)
qui peut s’écrire a0 = 2.Arctg(e^(-2cos(a0)))
Cette dernière forme, à partir d’une valeur approchée, par exemple 0,4 donne en quelques itérations a0 = 0.292576… soit 13,76°
et cos(a0) = 0,957504..
La distance parcourue par M est égale à celle parcourue par la tache, soit V.t1=2.R.cos(a0) soit 0,9575 mètres comme R = 50 cm
Le second cafard, noté N, part du point P, avec a0 connu. Il va vers les angles a décroissants.
Les équations sont similaires jusqu’à la vitesse obtenue par W² = (V – R.sin(a).da/dt)² + (R.cos(a).da/dt)² qui s’écrit W² = V² - 2.V.R.sin(a).da/dt = R².(da/dt)².
On peut en tirer
da/dt = (V.sin(a)- sqrt(V².sin²(a) + W² - V²) )/R
Il faut prendre le signe – devant le radical sqrt car l’angle a décroît.
On pose k=W/V avec k >1
On obtient da/dt = V/R. (sin(a) – sqrt(k² - cos²(a))) d’où, en séparant les variables, V/R. dt = da / (sin(a)- sqrt(k²-cos²(a))) = da (sin(a) + sqrt(k²-cos²(a)))/(1-k²))
D’où V/R .(k²-1).t = cos(a) - cos(a0) - intégr(de a0 à a) sqrt(k²-cos²(a))da
Pour t = t1 / 2, a=-pi/2 or t1 / 2 = R/V.cos(a0)
V/R .(k²-1).R/V .cos(a0) = -cos(a0) + intégr(de –pi/2 à a0)sqrt(k²-cos²(a))da
ou encore k² = 1/cos(a0) * intégr(de –pi/2 à a0)sqrt(k²-cos²(a))da équation où l’inconnue est k².
Pour la résolution numérique, on part d’une valeur approchée de k², par exemple 4, on calcule le second membre ,ce qui fournit une meilleure approximation de k² ; au bout de quelques
itérations, on trouve k² = 3,185579489…
Soit k = 1,784819...
La distance parcourue par N est donc k fois celle parcourue par M soit 1,709.. mètres
Trajectoire de M : on a x / R = cos(a0) + cos(a) + Ln(tg(a/2)) / 2 y / R = sin(a)
d’où la courbe , en reprenant R comme unité des longueurs.
La boucle est parcourue pendant que P est éclairé, a croît de a0 à (pi –a0).
Trajectoire de N
On a x / R = cos(a). k²/(k²-1) - 1/(k²-1)*((cos(a0) + ( integr(de a à a0) sqrt(k²-cos²(aa)))daa) y / R = sin(a)
La boucle est parcourue pendant que P est éclairé, a décroît de a0 à (-pi –a0).
