D153 : Les cafards n’aiment pas la lumière.

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D153 : Les cafards n’aiment pas la lumière.

Prenons un repère lié au cercle mobile, avec l’axe des abscisses parallèle au déplacement : le point P trace sur le cercle une corde AB horizontale (A position à l’instant t0 et B à l’instant t1) : donc, si a est l’angle polaire de A, celui de B est !-a. La trajectoire de chaque cafard est la composition du mouvement uniforme du cercle, et de sa rotation sur la circonférence. Si sa position à l’instant t (compris entre t0 et t1) est repérée par l’angle polaire x, sa vitesse par rapport au cercle est R dx/dt, tangente au cercle en direction.

Pour le premier cafard, la vitesse résultante est égale en module à V, celle du cercle, donc a pour direction 2x, puisque symétrique de l’horizontale par rapport à la direction x.

On a donc R dx/dt=2V sinx, donc dt=(R/2V) dx/sinx. En posant u=tan(x/2), on a dt=(R/2V)du/u, soit t1-t0=∆t=(R/2V)∆lnu=(R/V)ln(tan(a/2)) car tan((!-a)/2=1/tan(a /2) ; mais ∆t=2(R/V)cosa, donc ln(tan(a/2)=2cosa. La résolution numérique de cette équation donne a=0,2926 rd, et V∆t=1,915R

De même pour le second, en notant W=kV,

Rdx/dt=Vsinx-√(W²-V²cos²x)=V(sinx-√(k²-cos²x)=(1-k²) V/(sinx+√(k²-cos²x) soit (k²-1)V dt/R=-(sinx+√(k²-cos²x))dx, et (k²-1)V ∆t/R=-2cosa+

∫

^a^-a-!^√(k²^-cos²^{x)dx ; ou}

encore

∫

^a^-a-!^√(k²^-cos²^{x)dx= 2k}²cosa. Un simple encadrement de l’intégrale permet de déduire que √(k²-1)/k²<2cosa/(!+2a)<1/k; numériquement, le terme médian de l’inégalité vaut 0,5138, et en l’égalant à la moyenne des deux bornes (soit (√(k²-1)+k)/2k²), on trouve k=1,79 ce qui ne doit pas être très éloigné de ce que l’on obtient par une résolution numérique, et donne W∆t=3,428R. Pour R=50 cm, les deux cafards auront donc parcouru respectivement 96 et 171 cm environ.

Les courbes parcourues par les cafards se raccordent pour former une sorte de 8 avec une tête plus petite que le corps ; les tangentes en P ont pour angles 2a et –2a, et les distances de P aux points les plus éloignés correspondent aux extrémités de la corde du cercle perpendiculaire à AB, soit R(1-sina) et R(1+sina), environ 36 et 64 cm.