A20558. Un défi de Fermat
Trouver un triplet d’entiers positifs (p, q, r) premiers entre eux, vérifiant p3+q3= 9r3, et autre que les triplets (1,2,1) et (2,1,1).
Solution
Le problème revient à trouver sur la cubique x3 +y3 = 9 un 3e point à coordonnnées rationnelles (x, y) dans le premier quadrant.
Pour identifier des points rationnels, une méthode consiste à recouper la cubique par une sécante ou une tangente en des points rationnels. L’inter- section de la cubique et d’une droite conduit à une équation du 3e degré, et si deux des racines sont rationnelles, il en est de même de la troisième.
Sécante M1M2 : avec x31+y31 = 9 =x32+y32, point courant (x1t+x2(1−t), y1t+y2(1−t)), équation (x1t+x2(1−t))3+ (y1t+y2(1−t))3−9 =
= 3t(1−t)(t(x1x2(x1−x2) +y1y2(y1−y2)) +x1x22+y1y22) = 0,
racines t = 0, t = 1 et la racine rationnelle du dernier facteur, d’où un nouveau point à coordonnées rationnelles.
Tangente en M(x, y) : différentiant x3 +y3 = 9, 3x2.dx+ 3y2.dy = 0, dy/dx=−(x/y)2, point courant (x+uy/x, y−ux/y) ; équation
(x+uy/x)3+ (y−ux/y)3−9 = 9u2(3/xy+u(1/x3−1/y3)) = 0,
racine double u = 0 et racine rationnelle u = 3x2y2/(x3 −y3), d’où un nouveau point à coordonnées rationnelles.
Plus précisément, j’associe à un couple (P, Q) (ou (P, P) pour la tangente enP), le point (y3, x3) symétrique par rapport à la première bissectrice du point (x3, y3) où la droite recoupe la cubique. Je note P +Q ce nouveau point, car cette loi de composition entre points de la cubique est commu- tative (évident) et associative (voir en annexe) ; elle a pour élément neutre le point à l’infini de la cubique.
Si Q est confondu avec P (cas de la tangente en P), je note 2P (pour P +P) le symétrique du point où la tangente recoupe la cubique, et ainsi de suite pour d’autres additions avec P.
Le tableau suivant donne les valeurs (xr, yr, r) oùr est choisi pour donner à xr etyr des valeurs entières premières entre elles.
point xr=p yr=q r
A 1 2 1
2A 20 −17 7
3A −271 919 438
4A 188479 −36520 90391
5A −1372880358 1527734511 477212031 6A 676702467503 415280564497 348671682660
Le point 6A, exempt de valeurs négatives, fournit le triplet demandé par Fermat.
Annexe. Associativité
Soit à montrer que (P +Q) +R et P + (Q+R) sont le même point.
L’élément neutre de la loi de composition est un pointN de la cubique.
La droiteP Q recoupe la cubique en S, la droite N S recoupe la cubique en T qui est le point P +Q. La droite RT recoupe la cubique en U et (P+Q) +R est le point oùN U recoupe la cubique.
De même la droiteQR recoupe la cubique en V,N V recoupe la cubique enW qui est le pointQ+R.
Soient la cubique C1 constituée par les droites P QS, N V W, RT U et la cubiqueC2 constituée par les droites QRV, N ST, P W. Elles ont 8 points N, P, Q, R, S, T, V, W en commun avec la cubique étudiée C; l’équation cartésienne d’une cubique a 10 coefficients ; les 8 conditions (homogènes) de passage par ces 8 points laissent deux degrés de liberté pour le 10-uplet des coefficients, qui sont ceux d’une combinaison linéaire λC +µC1 : le neuvième pointU de l’intersectionC∩C1 est commun à ces cubiques1, il appartient àC2, c’est le 3e point où la droiteP W coupe C2.
Du fait de l’alignementP W U, la droiteN U recoupe la cubique au point P+ (Q+R) identique à (P+Q) +R, CQFD.
1. Résultat connu comme “théorème du neuvième point”.
