D153. Les deux cafards n’aiment pas la lumière

D153. Les deux cafards n’aiment pas la lumière

Problème proposé par J. Nicot

Sur un sol plan, une tache lumineuse circulaire, de rayon R, se déplace d’un mouvement uniforme rectiligne à la vitesse V.

A l’instant t₀, elle commence à éclairer un point P sur le sol. Un peu plus tard, à l’instant t₁, elle cesse d’éclairer le point P.

Deux cafards, assimilés à des points, se déplacent sur le sol à des vitesses constantes en module, V pour l’un et W (supérieure à V) pour l’autre.

A l’instant t₀, ils sont au point P, et, pour fuir la lumière, partent chacun d’un côté de la tache lumineuse tout en restant sur son bord.

A l’instant t₁, par une coïncidence remarquable, la position de P et les vitesses sont telles que les deux cafards se retrouvent en P.

Sachant que R= 50 cm, quelles distances ont été parcourues par les deux cafards ?

Notations et remarques préliminaires

Introduisons un repère orthonormé principal dont l’origine O est le centre du disque lumineux à l’instant t₀ et l’axe (Ox) la direction du déplacement de ce disque. Appelons θ₀ la coordonnée angulaire du point P.

A l’instant t1, le disque s’est déplacé d’une distance l=V t(1−t0).

P se retrouvant de nouveau à sa frontière, on peut écrire :2 cosR θ = =₀ l V t(₁−t₀).

P

O

l θ0

R

π-θ

0

Le premier cafard

Considérons la position du premier cafard. Appelons ( ), ( )x t y t ses coordonnées cartésiennes dans le repère principal et ( )θ t sa coordonnée angulaire dans le repère mobile associé au disque lumineux (en translation rectiligne

uniforme par rapport au repère principal). On a alors : ( ) ( 0) R cos ( )

( ) R sin ( )

x t V t t t

y t t

θ θ

= − +



 =

Le cafard étant en P aux instants t0 et t1, on a en outre les conditions limites θ( )t0 =θ0, ( )θ t1 =π−θ0

Sa vitesse par rapport au sol ayant pour module V :

Il parcourt entre ces deux instants une distance l=V t(₁−t₀). Ses coordonnées cartésiennes vérifient :

2 2

2

2 2

2

2

2 2 2

( ) ( )

( ) ( )

sin ( ) cos ( )

( ) ( )

2 sin ( )

( ) ( )

0 ou 2 sin ( )

dx t dy t

dt dt V

d t d t

V R t R t V

dt dt

d t d t

V VR t R V

dt dt

d t d t

R V t

dt dt

θ θ

θ θ

θ θ

θ

θ θ

θ

   

+ =

   

   

   

⇔ −  +  =

 

⇔ − +   =

 

⇔ = =

La première hypothèse s’élimine compte tenu des conditions limites.

Posons ( )

( ) tan 2

t θ t

τ = , d’où il découle

(

)

( ) 1 ( ) ( ) 2 ( )

1 ( )

2 1 ( )

d t d t d t d t

dt dt t dt t dt

τ θ θ τ

τ τ

= + ⇔ =

+ .

Ce changement de variable permet de résoudre l’équation différentielle restante :

( 0)

2

2 2 0

( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )

2 sin 2 2 ( ) ( ) ( )

1 ( ) 1 ( )

Vt t

d t R d t t d t V R

R V V t t t e

dt t dt t dt R

θ τ τ τ

θ τ τ τ

τ τ

−

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ×

+ +

En opérant le même changement de variable aux conditions limites, on obtient

0 0

1

1 0 1

0

( ) ( )

( ) 1

( ) ( ) tan tan cot ( )

2 2 2 2 ( )

t t

t t t t

t

θ θ

θ π

θ π θ τ

τ

   

= − ⇒ =  − =  ⇒ =

   

Ce qui donne finalement ^{(1 0)}

2 2

2 2

2

1 0 0 0

2 2

1 1

( ) ( ) ( ) cos tanh

1 1

l l

Vt t l R R

R R

l l

R R

e e l

t t e t e

e e R

τ τ τ θ

−

− −

−

− −

= × ⇒ = ⇒ = = =

+ +

En outre, puisque 2 cosR θ =0 l, on obtient finalement 2 tanh l l R= R.

Un logiciel de calcul permet de trouver la solution approchée (strictement positive) de cette équation : 1,915008048

l R≈

D’où l’on déduit en particulier la position du point P, définie par θ ≈₀ 0,2925762079.

Et on conclut finalement que la longueur parcourue par le premier cafard est approximativement l ≈ 95,75040241 cm.

Le second cafard

Considérons la position du second cafard. Appelons ( )θ t sa coordonnée angulaire dans le repère mobile associé au disque lumineux. Un raisonnement analogue au précédant permet d’obtenir l’équation différentielle régissant son mouvement :

2

2 ( ) ( ) 2 2

2 sin ( )

d t d t

R VR t W V

dt dt

θ θ

  θ

− = −

 

 

Résolvons cette équation de second degré en d ( )t R dt

θ .

Le second cafard, se déplaçant dans le sens opposé au premier, soit ( ) d t 0

dt

θ < , on ne retient que la racine :

(

)

( ) sin ( ) sin ( ) 1 avec

d t W

R V t t k k

dt V

θ = θ − θ + − =

D’où l’on déduit, d’après les conditions limitesθ( )t₀ =θ₀, ( )θ t₁ = − −π θ₀ :

0

0

1

2 2 2 2 0

0

2 cos

sin cos sin cos

t

t

d V d V l

dt dt

R R R

k k

π θ

θ

θ θ

θ

θ θ θ θ

− −

= ⇒ = = =

− −

∫

∫

Soumise à un logiciel de calcul, cette équation d’inconnue k révèle la solution approchée : 1,749311463

k W

=V ≈

On peut alors conclure que la longueur totale parcourue par les deux cafards est approximativement :

(

)

-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6

-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6