Questions les plus fréquentes, Méthodes et Stratégies classiques.
L’aspect rédaction est un aspect important des Mathématiques : de manière générale, un raisonnement pourra avoir cette forme :
je dis ce que je fais et pourquoi je le fais (à l’aide d’une propriété ou d’une définition par exemple).
je le fais (phase de calcul).
je conclu, en répondant à la question.
Exemple : « Etudier les variations de la fonction f ».
pour étudier les variations d’une fonction, on étudie le signe de sa dérivée…
on a f dérivable car (…) avec f x'( )=...
Le tableau de signes de f’ est donné par (…).
Ainsi, sur I, f est croissante (…).
A travers la liste des questions qui suivent, questions assez redondantes en Terminale S, nous allons rappeler brièvement les stratégies principales que l’on pourra mettre en place pour les aborder.
Ces méthodes seront souvent les phrases d’introduction à votre raisonnement, et vous comprendrez que parfois, lorsqu’une méthode échoue, on en teste une autre, d’où l’intérêt d’en avoir plusieurs en réserve…
Pour utiliser au mieux ce document, je vous conseille de l’imprimer et de faire des exercices (de Bac par exemple), en abordant les questions avec les différentes stratégies proposées.
Vous pourrez constater dans les corrigés des exercices, que ces méthodes sont très fréquemment utilisées…
J’insiste tout de même sur le caractère non exhaustif (voir votre dico !) des méthodes décrites ci-dessous…
Les suites.
Comment peut-on montrer qu’une suite est géométrique ? on montre que le quotient n 1
n
u u
+ est constant (cad indépendant de n) ou encore qu’il existe un réel q indépendant de n tel que un+1=qun.
si on échoue, on calcule le quotient 1
0
u
u pour connaître la raison, admettre le résultat et poursuivre le problème avec la bonne raison q…
Comment peut-on montrer qu’une suite est monotone ? on étudie le signe de un+1−un.
on le démontre par récurrence.
Par exemple, on calcule les premiers termes de la suite pour conjecturer les variations de la suite.
Imaginons qu’ils soient rangés dans l’ordre décroissant, la proposition pourra s’écrire P(n) : « un+1≥un ».
Comment peut-on montrer qu’une suite converge ?
si un est explicitement en fonction de n, on calcule directement la limite.
si on a déjà prouvé qu’elle était minorée (par exemple un≥0), on vérifie qu’elle est décroissante.
idem avec une suite croissante et majorée.
si on a des encadrements dans l’exercice, on tente le théorème des gendarmes.
Comment peut-on calculer la limite d’une suite qui converge ?
si un est explicite en fonction de n, on calcule directement la limite.
si on a des encadrements dans l’exercice, on tente le théorème des gendarmes.
Si la suite est de la forme un+1= f u
( )
n , avec f continue et( )
un convergente, on cherche la limite de f parmi les éventuels points fixe de f, cad les solutions de f(L) = L.Les fonctions.
Comment peut-on montrer qu’une fonction est continue ?
si c’est en un point a, on applique la définition : f est continue en a si elle est définie en a et lim ( ) ( )
x a f x f a
→ = .
si c’est sur un intervalle, on applique les théorèmes généraux, à l’aide des fonctions de référence, du genre
« f est continue sur I comme quotient de fonctions continues sur I, avec dénominateur non nul ».
on montre qu’elle est dérivable.
si graphiquement sa courbe « ne saute pas ».
Comment peut-on montrer qu’une fonction est dérivable ?
si c’est en un point a, on applique la définition : f est dérivable en a si son taux d’accroissement en a admet une limite (voir votre cours).
si c’est sur un intervalle, on applique les théorèmes généraux, à l’aide des fonctions de référence.
si graphiquement sa courbe admet en tout point une tangente non verticale.
Comment peut-on étudier les variations d’une fonction ? on étudie le signe de sa dérivée
(on applique les règles de composition) Comment peut-on étudier le signe d’une fonction ?
On la factorise et on utilise les règles de signe des fonctions affines (ax + b) ou des fonctions trinômes.
On fait une résolution directe d’inéquation, lorsque par exemple on travaille avec les fonctions exp ou ln : on appliquera alors les règles suivantes : « exp(X) > 0 pour tout réel X » et « ln(X) < 0 sur ]0 ;1] »…
Dans certains cas, on pourra se servir des variations de f pour étudier son signe.
Si par exemple f est croissante sur IR avec f(1) = 0 alors f est négative avant 1 et positive après.
Comment peut-on lever une forme indéterminée en l’infini ?
On applique la règle des fonctions rationnelles : « en l’infini, la limite d’une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient de ses termes de plus degré ».
Si on est en présence de fonctions ln ou exp, on applique les croissances comparées : en gros, « en l’infini l’exponentielle l’emporte sur toute puissance de x », « en l’infini, le logarithme s’incline devant toute puissance de x ».
Comment peut-on lever une forme indéterminée en a (fini) ? On reconnaît un taux de variation.
On factorise par x-a numérateur et dénominateur On multiplie par la quantité conjuguée
…
Comment déterminer les asymptotes à une courbe Cf ? Asymptote verticale ssi lim ( )
x a f x
→ = ∞ : la droite verticale d’équation x = a est alors asymptote à Cf.
Asymptote horizontale ssi lim ( )
x f x b
→∞ = : la droite horizontale d’équation y = b est alors asymptote à Cf en
∞.
Asymptote oblique ssi lim ( )x→∞f x −
(
ax+ =b)
0 : la droite d’équation y = ax + b est alors asymptote à Cf en∞.…
Comment étudier la position de deux courbes ? On étudie le signe de la différence f(x) – g(x) :
si f(x) – g(x) > 0 sur I, alors Cf est au dessus de Cg sur I.
si f(x) – g(x) = 0 en xo, alors Cf et Cg s’interceptent au point d’abscisse xo… Comment montrer qu’une équation admet au moins une solution ?
si on peut la résoudre, à l’attaque !
on applique le théorème des valeurs intermédiaires.
On l’aborde graphiquement en cherchant les abscisses des points d’intersection des deux courbes.
Intégration.
Comment peut-on déterminer une primitive ?
On nous donne une fonction F possible donc il suffit de la dériver et de comparer à f.
On reconnaît une formule de référence du style u e' u, u u' n … (voir cours).
On applique une intégration par parties.
Comment peut-on calculer une intégrale b
a f
∫
?On détermine une primitive F de f : dans ce cas, b
a f
∫
= F(b) – F(a).On se rappelle que l’intégrale correspond à une aire algébrique, ça peut servir…
Comment peut-on montrer des inégalités avec des intégrales ? Pour montrer que b b
a f ≤ ag
∫ ∫
, on peut montrer que sur [a,b], f ≤g. Pour montrer que b 0a f ≥
∫
, on peut montrer que sur [a,b], f ≥0. Probabilités.Comment dresser un arbre pondéré (en probabilité conditionnelle) ?
Une chose simple à mettre en place, que vous ne faites pas toujours… on lit l’énoncé et on fait un recueil des données : en général on vous donne des p(A), p(B) … pA
( )
B …Comment calculer une probabilité p(E) (cas discret) ? On regarde s’il elle est donnée dans l’énoncé.
On applique la formule p E
( )
=cardcard E( )( )Ω en dénombrant tous les cas favorables à E.Dans le cadre des probabilités conditionnelles, on applique la formule des probabilités totales.
Comment calculer une probabilité pB
( )
A ? On regarde s’il elle est donnée dans l’énoncé.On applique la formule
( ) ( ) ( )
B
p A B p A
= p B∩ .
Comment calculer une probabilité p A
(
∩B)
?On regarde s’il elle est donnée dans l’énoncé.
Si on a un arbre, on multiplie les probabilités au dessus de la branche où apparaissent A et B.
Autrement dit, on applique la formule p A
(
∩B)
= p B( )×pB( )
A .Si A et B sont indépendants, on applique la formule p A
(
∩B)
= p B( )×p A( )
.Comment déterminer la loi d’une variable aléatoire ?
On tente de reconnaître une loi classique : loi de Bernoulli, loi binomiale…
Sinon, on cherche les valeurs k que peuvent prendre la v.a., et on donne tous les P(X = k ).
Comment reconnaît-on une loi binomiale ? on repère des mots clés dans l’énoncé, par exemple : « Y la variable aléatoire qui compte le nombre de .. »
« on répète de manière identique et indépendante l’expérience… »
si au cours d’un énoncé on étudie la probabilité qu’une pièce soit défectueuse, le fait d’étudier un peu plus loin le nombre de pièces défectueuses dans un lot de 10 nous suggère aussi un schéma de Bernoulli.
Comment déterminer une moyenne ou une espérance d’une v.a. discrète ? Si c’est une loi binomiale de paramètre n et p, on a E(X) = np.
Dans tous les cas E(X) =
( )
k
k×P X =k
∑
où k parcourt l’ensemble des valeurs prises par la v.a.Rappel : pour une loi continue de densité f, P a
(
≤X ≤b)
=∫
abf x dx( ) , P X(
≤b)
=P X(
<b)
ou encore( )
1( )
P X≥b = −P X <b (voir le cours).
Nombres complexes.
Comment interpréter le quotient A I
B I
z z
Z z z
= −
− ? On passe l’égalité au module : A I
B I
z z AI
Z z z BI
= − =
− : si |Z| =1, AIB est isocèle en I.
On passe l’égalité à l’argument : arg( ) arg A I
(
,) [ ]2
B I
z z
Z IB IA
z z π
−
= =
− : si arg(Z) =
2
±π , AIB est rectangle en I.
Comment montrer que le triangle AMB est rectangle en M ?
On calcule A M
B M
z z
Z z z
= −
− (si ce n’est pas déjà fait…), et on montre que Z = ki où k est un réel.
On détermine AM = |zM −zA|, BM =…, AB =.. et on applique la réciproque de Pythagore.
On détermine les affixes des vecteurs AM z
(
M −zA)
et BM z(
M −zB)
, puis leurs coordonnées cartésiennes (sans i !) et on calcule le produit scalaire.Comment déterminer un ensemble de points (dans le plan) tel que …?
Si on voit des M de partout, on fait intervenir les barycentres pour se ramener à quelque chose de la forme GM = k ou AM = BM.
Pour GM = k, k >0 : on le cercle de centre G et de rayon k.
Pour AM = BM, on a la médiatrice de [AB].
Géométrie (analytique) dans l’espace.
Comment déterminer une équation de plan ?
On cherche un vecteur normal a n b c
(peut être suggéré dans l’énoncé).
Méthode 1 :
On sait alors que P a une équation de la forme ax + by + cz + d = 0.
On détermine d en remplaçant dans l’équation, les coordonnées d’un point qu’on sait être sur le plan.
Méthode 2 :
si A est dans le plan P, on écrit que M est dans P ssi AM n. =0, ce qui donnera une équation de P.
Comment déterminer une représentation paramétrique de droite ?
On cherche un vecteur directeur a u b c
(peut être suggéré dans l’énoncé).
Méthode 1 : On sait alors que D a une représentation paramétrique de la forme ,
A A A
x at x y bt y t z ct z
= +
= + ∈
= +
ℝ où A est un point de D.
Méthode 2 : si A est sur D, on écrit que M est sur D ssi il existe t tel que AM =tu
, ce qui donnera une représentation de D.
Si D est définie par l’équation de deux plans, on pose un paramètre, par exemple z = t et on résout le système en fonction de t.
Comment déterminer l’intersection d’une droite et d’un plan ?
si on connaît une représentation paramétrique de D, on l’injecte dans l’équation cartésienne de P et on cherche t:
- si aucune solution [par exemple 0t = 3], D // P strictement.
- si une unique solution, on obtient la valeur de t puis les coordonnées du point d’intersection.
- si une infinité de solution [par exemple 0t = 0], D⊆P.
Si D est donnée par l’équation de deux plans, on tente de résoudre un système 3,3 avec la méthode du pivot de Gauss.
Comment montrer que deux plans sont orthogonaux ? on peut montrer que n n. '=0 [vecteurs normaux].
Comment montrer que deux plans sont parallèles ? on peut montrer que n
et n'
sont colinéaires, cad que leurs coordonnées sont proportionnelles.
Comment montrer que D est orthogonale à P ? on peut montrer que u
et n
sont colinéaires, cad que leurs coordonnées sont proportionnelles.
Comment montrer que H est le projeté orthogonale de A sur P ? on peut montrer que :
- (AH) est orthogonale à P cad que AH
est colinéaire à n . - H est sur P
Comment calculer la distance de A à P ? On applique la formule
2 2 2
| |
( , ) axA byA czA d d A P
a b c
+ + +
= + + .
Si on connaît le projeté orthogonale H de A sur P, on calcule AH.
Bon, il y a sans aucun doute des questions types qui n’ont pas été traitées, des méthodes oubliées ou même des erreurs, Merci de me les signaler et bonnes révisions !
