A20558 : Un défi de Fermat Solution de Jean-Claude Douvry
L’équation p3+q3 = 9.r3 m’a beaucoup intéressé.
I - Par la méthode suggérée dans La Jaune et la Rouge d’avril 2019 : 1. Sur la cubique C d’équation x3 +y3 = 9, soit A(1,2) et B(2,1). La tangente en A àC recoupeC au pointD(−17/7,20/7) :
(−17)3+ (20)3 = 9.73.
2. La droite (BD) recoupe C au point E(−271/438,919/438) : (−271)3+ (919)3= 9.(438)3.
3. La droite (AE) recoupeC au point F(−36520/90391,188479/90391) : (−36520)3+ (188479)3= 9.(90391)3.
4. Enfin, la droite (DF) recoupeC au point
G(415280564497/348671682660,676702467503/348671682660) : (415280564497)3+ (676702467503)3 = 9.(348671682660)3.
Je n’ai pas trouvé de plus petites valeurs positives de p, q,r solutions de l’équation proposée.
À noter que dans les cas 2 et 4, r est divisible par 3 ; r ne l’est pas dans les cas 1 et 3.
II - J’ai ensuite tenté d’aborder par l’arithmétique le problème posé. On peut ne s’intéresser qu’aux solutions dans lesquellesp,q etrsont premiers entre eux deux à deux et donc dans leur ensemble.
On démontre sans difficultés que p3+q3 = 9.r3 implique p+q = 3.s3 et p2+q2−p.q= 3.t3 (et réciproquement) avecr=s.t(speut être divisible par 3, t n’est pas divisible par 3). Tous les nombres p, q,r, s,t sont des entiers positifs ou négatifs.
Je me suis placé dans l’anneauZ[j],j étant l’une des racines cubiques de l’unité (1 +j+j2 = 0). On doit pouvoir faire autrement et Fermat a cer- tainement fait autrement ! Passant parZ[j], ou directement, on détermine ainsi sans grande difficulté des valeurs de p et q satisfaisant à la relation p2+q2−p.q = 3.t3. Une famille de solutions est, au signe près,aetbétant des entiers positifs ou négatifs :
. p=−(a3+b3) + 6.a.b2−3.a2.b (1), . q= (a3+b3) + 3.a.b2−6.a2.b (2),
Nota : Si on échangea et b dans les formules (1) et (2) ci-contre, p et q deviennent respectivement−q et−p.
On vérifie quep2+q2−p.q= 3.(a2+b2−a.b)3 = 3.t3.
Pour trouver une solution de l’équation proposée, il faut en outre que (p+q) soit égal à 3 fois le cube d’un entier, (p+q) = 3.s3.
Des relations (1) et (2) ci-dessus, il vient : . (p+q) = 9.a.b.(b−a) = 3.s3 (3)
On notera que cette famille de solutions implique que s (et donc r) soit divisible par 3 et (p+q) par 34. Ce n’est pas le cas des solutions (−17,20,7) et (−36520,188479,90391) obtenues ci-dessus !
a,b, et (a−b) étant nécessairement premiers entre eux deux à deux (cela résulte du fait quep,q etr le sont), la relation (3) ci-dessus est satisfaite en choisissant :a=u3,b= 9.w3, (b−a) = 9.w3−u3=v3; alors (3) donne (p+q) = 81.u3.v3.w3= 3.s3 avec s= 3.u.v.w.
Notons la relationu3+v3= 9.w3.
Ainsi donc, à partir d’une solution « génératrice » u3 +v3 = 9.w3, on
peut par « montées » successives infinies trouver d’autres solutions, mais les nombres p,q etr croissent très rapidement ! Dans toutes les solutions ainsi obtenues, r est divisible par 3 et (p+q) par 34.
Voici quelques exemples de « montées » à partir de solutions « généra- trices » :
1. u = 1, v = 2, w = 1 ; il vient a = u3 = 1, b = 9.w3 = 9, d’où d’après (1) et (2) p = −271, q = 919, p+q = 648, s = 3.u.v.w = 6, t = a2+b2−a.b = 73, r = s.t = 438. C’est la solution en nombres non tous positifs obtenue en I-2 ci-dessus.
2. u =−17, v = 20, w = 7 ; il vient a = u3 = −4913, b = 9.w3 = 3087, d’où d’après (1) et (2)
p=−415280564497,q =−676702467503,p+q =−1091983032000, s= 3.u.v.w=−7140, t=a2+b2−a.b= 48833569,
r =s.t=−348671682660. On retrouve, au signe près, la solution obtenue en I-4 ci-dessus. (Il suffit d’échanger a et b dans les équations (1), (2) et (3) pour obtenir p,q etr tous trois positifs.)
Mais je n’ai pas traité le cas où r n’est pas divisible par 3 ! Commentaire (Jean Moreau de Saint-Martin)
L’opération “addition de points sur une cubique”, décrite dans La Jaune et la Rougede mai 2019, permet de réinterpréter les pointsD, E, F, Gde la cubique obtenus dans la partie I en −2A, 3A,−4A,−6A respectivement.
La « montée » à partir d’une solution « génératrice » (u, v, w) correspon- dant à un point M de la cubique fournit le triplet (p, q, r) correspondant au point 3M, comme le montrent les exemples ci-dessus.
Un autre type de montée est fourni par la tangente au pointM, conduisant au point 2M avec le triplet
p=v(2u3+v3),q=−u(2v3+u3), r=w(v3−u3).
