D1901. Un angle et son multiple
Soit un triangle scalène ABC dont l’angle en A est inférieur à 45°. On trace les points P et Q respectivement symétriques de B et de C par rapport aux côtés AC et AB. La perpendiculaire issue de A à PQ rencontre la médiatrice de BC en un point D. Démontrer que l’angle BDC est un multiple entier de l’angle en A.
Solution de Maurice Bauval :
Soit a l’angle en A. Repérons les points B,C,P,Q par leurs coordonnées dans un repère d’origine A : B(b,0) ; C ( c cos a, c sin a ) ; P ( b cos 2a, b sin 2a) ; Q ( c cos a, - c sin a).
Vecteur PQ (c cos a - b cos 2a , - c sin a - b sin 2a)
Un vecteur directeur de AD : (c sin a + b sin 2a , c cos a - b cos 2a ) Médiatrice de BC :
(x-b)2 + y2 = (x –c cos a ) 2 + (y – csin a ) 2
En simplifiant : (c cos a - b)x + c y sin a = (c2 - b2 )/2
Dans cette équation on remplace x et y par les coordonnées de D qui sont de la forme [ k(c sin a + b sin 2a ), k( c cos a - b cos 2a ) ] où on recherche le réel k ≠ 0.
(c cos a - b) (c sin a + b sin 2a ) + c( c cos a - b cos 2a ) sin a = (c2 - b2 )/2k 2c2 sin a cos a – b2 sin 2a – bc sin a + bc( sin 2a cos a –sin a cos 2a ) = (c2 - b2 )/2k
(c2 - b2 ) sin 2a = (c2 - b2 )/2k , or (c2 - b2 ) ≠ 0 et 0°∠ 2a ∠90°, donc k = 1 / ( 2 sin 2a ) , Coordonnées de D : [ (c sin a + b sin 2a ) / ( 2 sin 2a ), ( c cos a - b cos 2a ) / ( 2 sin 2a ) ] Vecteur BD : [ (c sin a - b sin 2a ) / ( 2 sin 2a ), ( c cos a - b cos 2a ) / ( 2 sin 2a ) ] __________________________________
Longueur BD : √ c2 + b2 – 2 bc ( cos 2a cos a + sin 2a sin a ) /( 2 sin 2a ) = ________________
BD = √ c2 + b2 – 2 bc cos a / 2 sin 2a = BC/( 2 sin 2a ) Mais sin ( (angle BDC) /2 ) est précisément BC / 2 BD = sin 2a
Comme a ∠ 45° et BDC ∠ 180° cette égalité de sinus conduit au résultat : BDC = 4a = 4 BAC