D1884. Réflexions sur réflexions (2ème épisode) MB
Dans un triangle ABC on trace les points A’,B’ et C’ qui sont les réflexions des sommets A,B et C par rapport à un point P quelconque.
Q1 Démontrer que les cercles (A’BC), (B’CA) et (C’AB) sont concourants en un même point Q.
Q2 Déterminer le lieu du point Q’ symétrique de Q par rapport à P quand P décrit : a) la médiatrice de BC
b) la droite passant par A et le milieu M du côté BC.
Q1) Soit Q l'intersection des cercles (ABC') et (AB'C).
(QA,QB) = (C'A,C'B) et (QA,QC) = (B'A,B'C) et par différence (QB,QC) = (B'A,B'C) – (C'A,C'B) mais B'C//C'B donc (QB,QC) = (B'A,C'B) – (C'A,C'B) = (B'A,C'A) = (A'B,A'C)
car B'A//A'B et C'A//A'C. L'égalité (QB,QC) = (A'B,A'C) prouve que Q est aussi sur le troisième cercle (A'BC)
Q2) a) Si P décrit la médiatrice de BC, le quadrilatère BCB'C' est un rectangle de centre P, les médiatrices de BC' et CB' sont confondues avec la ligne des centres des cercles ABC' et AB'C, l'axe radical QA des 2 cercles est perpendiculaire à BC. Q et A sont symétriques par rapport à la parallèle à BC qui passe par P.
La composée de la symétrie axiale par rapport à la ligne des centres des 2 cercles, par la symétrie de centre P est la symétrie par rapport à la médiatrice de BC, le point Q' est donc fixe.
b) P décrit la médiane issue de A :
(Q'B,Q'C) = (QB',QC') = (QB',QA) + (QA,QC') = (CB',CA) + (BA,BC') ( égalité d'angles inscrits ) mais CB'//BC' donc (Q'B,Q'C) = (BA,CA). (Q'B,Q'C) = (AB,AC) donc Q' est sur le cercle circonscrit au triangle ABC.
Avec Geogebra on vérifie que lorsque P décrit la droite AM, le point Q' décrit le cercle circonscrit privé d'un seul point (qui est la limite de Q' quand P → ∞ ) .
Pour une recherche analytique du lieu du point Q, à une similitude près on peut choisir un repère d'origine A, où les points suivants ont pour coordonnées :
B(-1, b), C(+1, c), C'(-1, b+t), B'(+1, c+t). P décrit la droite x=0.
Le cercle qui passe par A, B, C' a pour équation x²+y² – x(b² + bt – 1) – y(2b + t) = 0 Le cercle qui passe par A, B', C a pour équation x²+y² +x(c² + ct– 1) – y(2c + t) = 0
Par différence l'axe radical (il passe par A), a pour équation x(b² + c² +bt + ct – 2) + 2y(b – c) = 0 On suppose x non nul et on élimine t entre les équations de l'un des cercles et de l'axe radical : t = −((x(b2+c2−2)+2y(b−c))
(x(b+c)) )
Le lieu de Q a pour équation : (b+c)x(x²+y²) – [(bc+1)x + (c – b)y].[(b – c)x + 2y] = 0 C'est une cubique circulaire, elle passe par chacun des points A, B, C, l'origine A est un point double, l'une des tangentes en A, d'équation (b – c)x + 2y = 0 est parallèle à BC.
Pour la figure on a choisi, (application numérique ) b = –1,5 et c = –1, Alors le lieu de Q a pour équation 10x(x²+y²) + (4y – x)(5x + y) = 0 .
L'asymptote a pour équation x = –2/5.
