A235
Zig vient de passer son oral de mathématiques au concours d’entrée à l’I.R.M.( Institut des Récréations Mathématiques) et Puce lui demande l’énoncé de l’exercice sur lequel il a planché.
Zig : « Il s’agissait de déterminer la somme S3 des cubes de trois variables x,y et z (x≤y≤z) dont on donnait la somme S1, la somme des carrés S2 et la somme des puissances quatrièmes S4. Je me rappelle la valeur de S1=2 mais j’ai un trou de mémoire sur les valeurs des deux autres sommes.
Mon seul souvenir est que les trois sommes prises dans l’ordre S1,S2 et S4 formaient une progression géométrique.
Puce : « Il m’est impossible de résoudre le problème avec cet énoncé tronqué ».
Zig : « Tu as raison.Après le calcul de S3, l’examinateur m’a demandé de calculer de la même manière la somme S5 des puissances cinquièmes.Faute de temps,je ne n’y suis pas parvenu. Il fallait trouver 2102. »
Avec ces précisions, montrer que Puce est capable de calculer S3 et par la même occasion de retrouver S2 et S4?
La double inégalité x≤y≤z suggère que x, y, z sont tous réels.
Les trois variables sont les racines d'une équation telle que x3 – 2x² + ax + b = 0.
S2 = 4 – 2a, S1 S4 = (S2 )² , donc S4= (4 – 2a)² /2 , S4= 8 – 8a + 2a² . D'autre part S3 – 2S2 + aS1 + 3b= 0 et S4 – 2S3 + aS2 + bS1 = 0 Donc S3 = 2(4-2a) – 2a – 3b = 8 – 6a – 3b
et S4 = 2(8 – 6a – 3b) – a(4 – 2a) – 2b = 16 – 16a + 2a² – 8b
En égalant les deux expressions de S4 8 – 8a + 2a² = 16 – 16a + 2a² – 8b, on a b = 1 – a . Donc S3 = 8 – 6a – 3 + 3a = 5 – 3a .
On a aussi S5 – 2S4 + aS3 + bS2 = 0 d'où S5= 2(8 – 8a + 2a² ) – a(5 – 3a) + (a – 1)(4 – 2a) S5= 12 – 15a + 5a². L'équation d'inconnue a : 5a² – 15a – 2090 = 0, ou encore a² – 3a – 418 = 0 admet deux racines 22 et - 19.
Avec a=22 et b= - 21, les trois variables sont racines de x3 – 2x² + 22x – 21 = 0
(x – 1)(x² – x + 21) = 0 mais alors deux d'entre elles ne sont pas réelles ce qui est exclus.
Avec a= -19 et b=+20, les trois variables sont racines de x3 – 2x² – 19x + 20 = 0 (x – 1)(x² – x –20) = 0, les trois racines sont – 4, +1, et +5.
En résumé :
S1 S2 S3 S4 S5
2 42 62 882 2102
