A 408. Distances entières dans un triangle. ****
Soient un triangle acutangle ABC et un point P en son intérieur. On recherche les triangles ABC dont les six distances BC, CA, AB, PA, PB, PC sont des nombres entiers distincts (propriété (Π)).
Q1 - P est l'orthocentre du triangle.
1 - Déterminer le triangle ABC qui a la propriété (Π) et dont l'aire est la plus petite possible.
2 - Démontrer qu'il existe une infinité de triangles ABC qui ont la propriété (Π) et dont l'aire est aussi un nombre entier. Donner l'exemple d'un triangle ABC dont l'un des côtes est égal à 2016.
Q2 - P est le point de Fermat sous lequel on voit les trois côtés du triangle sous le même angle de 120°.
1 - Déterminer le triangle ABC qui a la propriété (Π) et dont l'aire est la plus petite possible.
2 - Existe-t-il une infinité de triangles ABC qui ont la propriété (Π) ?
Solution proposée par Michel Lafond.
Q1.
1) Un balayage à l’aide d’un programme donne le triangle de la figure 1 ci-dessous :
Vérifions que ce triangle convient :
Dans un repère approprié, on a les coordonnées suivantes : A (26,4 44,8) B (0, 0) C (60, 0) P (26,4 19,8).
On a alors :
et ce qui prouve que P est l’orthocentre.
Ensuite, pour les distances entières distinctes :
Son aire est 1344. Est-ce la plus petite possible ?
En multipliant les dimensions par 36, le coté AC mesurera ce qui répond à la fin de la question 2.
Reste à démontrer qu’il y a une infinité de solutions.
Pour cela, on accole deux triangles pythagoriciens comme dans la figure 2 ci-dessous : A
B C
2 mn = 2 pq
Figure 2 52
A
B C
P 25
33 39
56
60
Figure 1
On utilise pour cela le paramétrage bien connu des solutions de à savoir : . m, n entiers.
On vérifie ensuite que si P est l’orthocentre, on a pour PA, PB, PC trois nombres rationnels.
En multipliant par un entier convenable, on aura donc un triangle satisfaisant la propriété II sous réserve que le triangle soit acutangle, que les 6 distances soient entières ainsi que l’aire.
Pour cela, prenons un paramètre entier t > 1 et posons On aura bien ainsi .
On a alors la figure 3 ci-dessous dans laquelle
La distance PH mesure
et on vérifie que :
D’où
Puisque , Il est clair que ces 6 distances sont distinctes pour une infinité de valeurs de t.
Le triangle est manifestement acutangle, et son aire est donc entière.
Il faut bien sûr tout multiplier par pour avoir 6 distances entières distinctes.
Ainsi, pour t = 2 on obtient à un coefficient près : A
B C
P
Figure 3
H
75 44
100 35
120
117
Figure 4
Q2.
1) Un balayage à l’aide d’un programme donne le triangle de la figure 5 ci-dessous :
Son aire est environ 86886,2. Est-ce la plus petite possible ?
Comme on va le voir ci-dessous, un balayage par programme (MAPLE) suggère qu’il y a une infinité de solutions.
Avec les notations de la figure 6 ci-dessus, dans laquelle x, y, z, a, b, c sont entiers, on a :
L’équation diophantienne a une infinité de solutions, par exemple : où m et n sont deux entiers naturels quelconques, et m > n pour que x soit positif.
D’où une idée pour trouver des solutions de (S). On pose
où m, n, p, q sont des entiers tels que
On peut supposer PGCD (m, n) = PGCD (p, q) et p < m à cause de la symétrie.
On vérifie que qui est carré.
De même est carré.
Il ne reste qu’à satisfaire (3), c’est-à-dire qui s’écrit d’après (4) :
399
120°
195
264 325
455
511
Figure 5
120°
120°
b
A
B C
120°
z
x y
c
a
Figure 6
120°
120°
En faisant varier m et n [1000 > m > n > 0 et 50 > p > q > 0 et p < m] ; on obtient les solutions [x, y, z, a, b, c]
avec MIN (x, y, z) < 20000 du tableau en fin d’article, que j’ai classées selon MIN (x, y, z) croissant.
Ces solutions sont définies à un facteur entier près, aussi, lorsque PGCD (x, y, z) > 1 les solutions ont été réduites.
Je ne peux pas garantir que toutes les solutions avec MIN (x, y, z) < 20000 y figurent.
2) Pour démontrer que (S) a une infinité de solutions, j’utilise la méthode de Hart citée par A. Gérardin dans l’article "Distances, en nombres entiers, de trois points et de leur centre isogone à 120°" publié dans Nouvelles annales de mathématiques 4ème série, tome 16 (1916), p. 62-74.
On part de
On a vu que
On a aussi
Il reste à vérifier c’est-à-dire En remplaçant k par
, (6) devient
Cela sera réalisé si est un carré.
[b et c seront éventuellement rationnels, et il faudra alors multiplier x, y, z par un entier convenable]
Si on développe C, et si on ordonne par rapport à p, on obtient :
Hart remarque que C est le début du carré de
Un calcul un peu pénible mène à
Puisqu’on veut x et y distincts, d’après (7) on aura si et seulement si (à un facteur près)
Hélas,
implique
La formulation (7) qui implique ne convenant pas, Hart introduit un paramètre t et pose
Un calcul pénible mène à
On aura si et seulement si
(9) et (10) donnent Puisque p et q sont définis à un facteur près, on prendra :
Avec (12) donne p et q en fonction de m, n puis on obtient
en fonction de m, n et finalement z = k x en fonction de m, n soit :
En multipliant tout par le dénominateur de z pour avoir des entiers, on arrive à la solution paramétrée :
Si m > n, x, y, z sont visiblement positifs et distincts dans une infinité de cas.
Exemple : Si m = 2 et n = 1 on obtient (après division par le PGCD 576) la solution x = 2709 y = 4515 z = 110960
(Visible dans le tableau ci-dessous).
Les plus petites solutions du système (S) trouvées avec (4) :
p q m n x y z a b c
2 1 9 4 195 264 325 399 455 511
2 1 31 13 264 325 440 511 616 665
8 7 11 7 360 1015 3864 1235 4056 4459
7 5 41 23 384 805 1520 1051 1744 2045
8 7 17 12 435 1656 4669 1911 4901 5681
4 3 53 38 455 1824 2145 2089 2405 3441
25 2 71 44 520 3105 8184 3395 8456 10101
9 1 64 1 688 5187 21840 5563 22192 24843
4 3 59 17 765 1064 5016 1591 5439 5624
9 1 47 39 817 3440 25935 3913 26353 27815
8 7 31 28 885 9499 12600 9971 13065 19201
11 10 173 170 1029 15680 87720 16219 88239 96520
25 3 27 5 1272 2065 4928 2917 5672 6223
8 7 77 23 1357 1800 19320 2743 20033 20280
4 3 47 38 1785 8415 11704 9435 12691 17501
17 16 38 35 2409 42735 58400 43989 59641 87935
2 1 197 190 2709 4515 110960 6321 112339 113285
2 1 149 3 2709 66576 110960 67971 112339 155344
11 10 47 4 2744 15351 233920 16891 235304 241961
16 9 89 2 3000 65975 139113 67525 140637 181337
8 7 55 49 3120 33488 38955 35152 40605 62797
11 1 65 31 3128 16320 24955 18088 26657 36005
11 1 33 2 3264 4991 26040 7201 27816 28861
9 1 31 6 3515 6528 14800 8827 16835 18928
9 1 44 31 3705 15600 59024 17745 60961 68176
7 5 15 8 3864 7296 15295 9816 17549 19969
41 39 149 101 4000 13433 117975 15817 120025 125233
13 8 59 41 4200 10880 15211 13480 17689 22699
4 3 27 11 4256 5005 20064 8029 22496 22979
11 10 121 100 4641 34200 70720 36741 73151 92680
8 7 79 26 4784 5565 59731 8971 62261 62699
25 2 59 10 5096 11520 30429 14744 33271 37539
14 13 97 65 5184 16835 102336 19939 105024 111709
9 8 26 19 5355 22933 65520 26027 68355 79507
8 7 79 29 5400 5423 57960 9373 60840 60853
21 19 332 305 5733 6800 98515 10867 101503 102085
11 1 61 34 5985 12376 91200 16219 94335 97976
13 6 61 34 5985 8640 12376 12735 16219 18296
15 4 41 14 6120 8512 9405 12728 13545 15523
31 6 67 48 6120 13875 137344 17745 140504 144781
3 1 157 55 6307 6765 7208 11323 11713 12103
11 10 33 28 6405 55272 97600 58737 100955 134072
11 10 97 50 6909 12200 105280 16759 108899 111880
19 11 125 107 6960 15631 63665 20039 67415 72751
16 9 127 123 7000 14760 324597 19240 328153 332223
Remarque :
Des solutions paramétrées plus simples que celles données plus haut figurent dans l’article de A. Gérardin, mais je n’ai pas compris comment il les avait obtenues :
avec p > q
30 7 149 147 7504 13616 1504545 18544 1508311 1511399
15 4 59 17 7616 8415 11704 13889 16856 17501
9 1 83 19 7752 17575 32640 22477 37128 44135
19 17 227 221 8064 104720 447525 108976 451611 508405
17 16 179 80 8547 11680 207200 17857 211603 213280
45 38 239 176 8715 38368 72960 43387 77685 97952
3 2 206 119 9425 21063 30160 27037 35815 44593
47 28 127 2 9728 306375 734440 311353 739352 926435
19 17 73 8 9856 42120 546975 47816 551969 569205
18 1 101 70 10323 90117 323680 95697 328963 376907
14 3 113 8 10608 35805 71995 42123 77843 95095
18 5 97 7 10787 49200 71760 55387 77717 105360
22 17 33 19 10920 24225 58072 31155 64232 73253
37 36 116 43 11607 11805 629640 20293 635523 635635
29 27 64 43 11984 39216 245565 46384 251771 267339
27 22 285 59 12331 25725 175560 33631 182039 189735
4 3 257 170 12383 38760 58377 46213 65453 84693
21 17 53 34 13224 38080 87261 46136 94569 111299
25 2 32 1 13455 35464 211761 43771 218799 231539
13 6 169 36 13464 27265 39360 35941 47544 58015
25 23 277 251 13728 202055 240097 209257 247247 383387
27 22 31 28 14455 98648 205800 106613 213395 269048
35 18 44 9 14841 31535 55440 41021 64161 76265
31 23 67 53 15120 68425 89199 77105 97641 136901
19 15 241 207 15232 89040 142623 97552 150817 202407
37 36 109 106 15695 835704 851400 843661 859355 1461096
41 21 97 58 16120 28119 38976 38779 49064 58359
17 13 67 35 16320 29575 83096 40295 92344 101179
36 13 103 58 16575 16905 35728 28995 46297 46543
25 2 67 13 16640 43953 99360 54223 108640 127167
15 4 97 13 17043 38080 58520 48883 68647 84280
31 8 73 5 17365 76160 121992 86165 131537 173128
8 3 97 22 17424 32725 33915 44099 45219 57715
34 33 283 82 17712 24455 1216545 36673 1225497 1228955
37 36 503 446 18031 215864 978120 225421 987259 1102024
29 10 603 5 18165 1000960 1090752 1010165 1099947 1812032
9 1 421 13 18525 70091 295120 80959 304805 335699
22 17 47 28 18525 44408 98515 56017 108965 126697
31 6 227 5 19125 189312 429200 199563 439075 548912
14 3 81 55 19344 38896 131285 51376 141949 154451
31 8 52 17 19600 26741 31395 40291 44555 50401
