A411 - Diophante dans ses terres triangulaires

La perpendiculaire en B au côté AB coupe respectivement aux points D et F la hauteur issue de A et la médiatrice du

Ici et dans la suite sauf précision contraire, je travaille en angles orientés de droites non orientées, définis à

Alors DE/BC = AD/AB = P F/P B = F G/BC, et l’égalité DE = F G, ces segments étant de même sens, entraîne que les cordes DG et EF ont même milieu et même médiatrice, qui contient

Soit un triangle ABC dont le cercle inscrit (γ ) touche les côtés BC, CA et AB respectivement aux points D, E

Enoncé D1862 (Diophante) Points de tangence. Soit un triangle

C’est donc la droite [GL], si ces deux points sont distincts (ABC non équilatéral) ; si ABC est équi- latéral, tout le plan convient ; si ABC est isocèle, la quatrième droite

Démontrer que la droite IG e coupe le cercle (Γ) au point A 0 diamétralement opposé à A dans (Γ) si et seulement si le triangle est rectangle en A ou isocèle de sommet A. Solution

Les droites BI et BJ sont bissectrices de l’angle P BQ, donc la division (P, Q, I, J ) est harmonique et les cercles passant par P et Q sont orthogo- naux au cercle de diamètre IJ