Des triangles équilatéraux dans un treillis
Problème D157 de Diophante
On considère l’ensemble E appelé « treillis » des points à coordonnées entières positives du plan. Existe-t-il un triangle équilatéral dont les sommets appartiennent à E ?
Chacun des points de E est le centre d’un disque de rayon r quelconque > 0.
Existe-t-il un triangle équilatéral dont les sommets appartiennent à trois disques distincts ?
Existe-t-il un triangle équilatéral de côté entier inférieur à 125 dont les sommets appartiennent à trois disques distincts de rayon r égal à 0,003 ?
Source : présélection pour les Olympiades internationales de mathématiques
Solution
Rappelons que tan(b-a) est
rationnel en tan(a) et tan(b) S’il existait un triangle équilatéral dont les sommets appartiennent à E, alors tan(π/3), qui vaut
√3, serait rationnel. Ce n’est pas le cas.
Dans E = N*N, plongé dans R*R, intéressons nous à la droite D d’équation y = x√3, dont la pente est irrationnelle.
Cette droite ne passe par aucun point de E hormis l’origine mais passe aussi près qu’on le souhaite de certains points de E.
Il suffit de décomposer √3 en fraction continue
0 5 10
5 10 15 20
√ 3 =
1 +1 + 1
1
2 + 1
1 + 1
2 + 1
Les premières approximations sont
Numer. Dénom. Valeur Différence Ecart
0 1 1 1,000000000 - 0,73 ... 0,732 …
1 2 1 2,000000000 0,26 ... - 0,267 …
2 5 3 1,666666667 - 0,065 ... 0,196 … 3 7 4 1,750000000 0,017 ... - 0,0717 … 4 19 11 1,727272727 - 0,0047 ... 0,0525 … 5 26 15 1,733333333 0,0012 ... - 0,0192 … 6 71 41 1,731707317 - 0,00034 ... 0,0140 … 7 97 56 1,732142857 0,000092 ... - 0,00515 … 8 265 153 1,732026144 - 0,000024 ... 0,00377 … 9 362 209 1,732057416 0,0000067 ... - 0,00138 … 10 989 571 1,732049037 - 0,0000017 ... 0,00101 … 11 1351 780 1,732051282 0,00000047 ... - 0,000370 … 12 3691 2131 1,732050680 - 0,00000012 ... 0,000270 … 13 5042 2911 1,732050842 0,000000034 ... - 0,0000991 … 14 13775 7953 1,732050798 -0,0000000091 ... 0,0000726 …
De gauche à droite, les colonnes contiennent : le nombre de traits de fraction retenus ; le numérateur puis le dénominateur obtenus ; la valeur de la fraction ; sa différence avec √3 et l’écart en ordonnée entre la droite D et le point de E voisin.
Pour r > 0 fixé, il existe un point M de E de coordonnées (p, q) et un réel s tel que |s| < r et q+s = p√3. Alors les trois points de coordonnées respectives (0, 0), (p, q+s) et (2p, 0) sont les sommets d’un triangle équilatéral dans trois disques distincts.
Enfin les trois points de coordonnées (0, 0,0026), (56, 56√3 + 0,0026), (112, 0,0026), sont les sommets d’un triangle équilatéral de coté 112 dans trois disques distincts de rayon inférieur à 0,003. En effet, 56√3 + 0,0026 = 96,9974 … Remarque On peut s’intéresser aux triangles équilatéraux dont une médiatrice est parallèle à la droite d’équation y = x. Il faut alors décomposer tan (π/12) en fraction continue. Les résultats ne sont pas meilleurs. En revanche, les fractions obtenues ont les mêmes dénominateurs : 1, 3, 4, 11, 15, 41, 56, 153, 209, 571, 780, … que celles obtenues pour √3 et les numérateurs sont : 0, 1, 1, 3, 4, 11, 15, 41, 56, 153, 209, … Etonnant !
