Diophante choisit deux entiers k et n avec k ≥ 3 et n ≥ k² puis il demande à Zig de trouver une partition de n en k entiers positifs et distincts de sorte qu’en les plaçant de manière adéquate le long de la circonférence d’un cercle il minimise la somme S des k produits des entiers adjacents pris deux à deux (1). Parallèlement, Diophante demande à Puce de faire le même exercice avec la partition de l’entier n + 14 en k – 1 entiers positifs et distincts. Tous calculs faits avec leurs couples respectifs (n,k) et (n + 14, k – 1) , Zig et Puce obtiennent la même somme minimale égale à la constante de Kaprekar 6174.
Déterminer les deux paramètres n et k choisis par Diophante.
Soient ai un ensemble de k entiers distincts (1≤i≤k) et bi=ai-1+ai+1 (les indices variant modulo n). Nous avons alors S=∑aibi/2. Dans une disposition qui minimise S, les bi se rangent dans l’ordre inverse des ai, c’est à dire que (ai-aj)(bi-bj)≤0, pour tout i≠j :
en effet, si (ai-aj)(bi-bj)>0, en intervertissant ai et aj, S varie de (aj-ai)(bi-bj)<0 si i+1<j, et si i+1=j, S varie de (ai-1-ai+2)(ai+1-ai)<0 car (ai-ai+1)(bi-bi+1)=(ai-ai+1)2+(ai-ai+1)(ai-1-ai+2)>0.
Dans chaque cas on arrive à une contradiction.
Par ailleurs, rangeons en ordre croissant les éléments de la partition : si ai est le premier qui dépasse de plus d’une unité l’élément précédent, et si aj est le plus grand élément, la somme S diminue (de bi-bj) si l’on enlève 1 à ai et que l’on ajoute 1 à aj.
La partition qui minimise S sera donc 1, 2, ..., k-1, n-Tk-1, où Tk-1=k(k-1)/2.
La disposition optimale sera la même que celle des entiers de 1 à k, en remplaçant k par n-Tk-1 . La relation (ai-aj)(bi-bj)≤0 donne la méthode pour disposer les éléments de la partition : k sera entre 1 et 2, k-1 entre 1 et 3, k-2 entre 2 et 4, etc... Deux cas se présentent : si k est pair, le dernier élément (k/2) se place entre les deux bouts de la chaîne ; si k est impair, la chaîne se referme...
Par exemple pour k=8 : 4, 6, 2, 8, 1, 7, 3, 5, 4 ; pour k=7 : 4, 5, 2, 7, 1, 6, 3, 4.
Toujours dans le cas où n=1+...+k=k(k+1)/2=Tk, la somme des éléments qui entourent i est b(i), avec si k est impair, b(1)=2k-1, b(2)=2k-2, b(3)=2k-4,..., b(k-1)=4, b(k)=3. Par contre si k=2p est pair, b(1)=4p-1, b(2)=4p-2, b(3)=4p-4, ..., b(p-1)=2p+4, b(p)=2p+3, b(p+1)=2p-1, b(p+2)=2p-2, ..., b(2p-1)=4, b(2p)=3.
La valeur minimale de la somme S est telle que 2S=∑i*b(i) : si k est impair, 2S=(2k-1)*1+(2k-2)*2+(2k-4)*3+...+4*(k-1)+3*k=2P(k)+k-1, où
P(k)=1*k+2*(k-1)+...+k*1 =k(k+1)(k+2)/6
Si k=2p, 2S=(4p-1)*1+(4p-2)*2+(4p-4)*3+...+(2p+4)*(p-1)+(2p+3)*p +(2p-1)*(p+1)+(2p-2)*(p+2)+...+4*(2p-1)+3*2p=2P(2p)+2p-2.
En résumé, S=k(k+1)(k+2)/6+[(k-1)/2] , en notant [ ] la partie entière.
Revenons au cas général, et notons S(n,k) la somme minimale pour une partition de n en k entiers distincts : S(n,k)=k(k+1)(k+2)/6+[(k-1)/2]+3*(n-k(k+1)/2)
S(n+14,k-1)=k(k+1)(k-1)/6+[(k-2)/2]+3*(n+14-k(k-1)/2) -k(k+1)/2+3k S(n,k)-S(n+14,k-1)=k(k-5)/2+[(k-1)/2]-[(k-2)/2]-42
Pour k=12, k(k-5)/2=42, et [(k-1)/2]=[(k-2)/2]
Donc k=12, S(n,12)=135+3n=6174, soit n=2013.
