4n+ 2 est un multiple de 3 si et seulement si il existe k∈ tel que 4n+ 2 = 3k

0911 ©pa2009

Démonstration par récurrence

Exercice

Démontrer que pour tout entier naturel n : 4ⁿ+ 2 est divisible par 3.

Rappel : b est divisible par a si et seulement si il existe un entier n tel que b = na.

Solution

Soit P(n) la propriété « 4ⁿ+ 2 est un multiple de 3 ».

a) 4⁰+ 2 = 3 donc P(0) est vraie.

b) Supposons que P(n) soit vraie pour un entier n≥ 0.

4ⁿ+ 2 est un multiple de 3 si et seulement si il existe k∈ tel que 4ⁿ+ 2 = 3k.

Or 4ⁿ+ 2 = 3k⇒ 4ⁿ = 3k− 2 ⇒ 4^{n+ 1}+ 2 = 4(3k− 2) + 2 = 12k− 6 = 3k’, en posant k’ = 4k− 2. Puisque k est entier, k’ aussi. Donc P est héréditaire.

c) P est vraie au rang 0 et héréditaire, donc P est vraie pour tout n :

∀n∈ 4ⁿ+ 2 est un multiple de 3.