61 − 12 2 3k + k 2 3k + k

(1)

A559. La saga de la somme des carrés (2ème épisode) A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n

Problème proposé par Dominique Roux

Q1 : Combien existe-t-il d'entiers n tels que la somme des carrés de n entiers consécutifs puisse être un carré parfait?

Q2 : Combien existe-t-il d'entiers n tels que la somme des carrés de n entiers consécutifs ne soit jamais un carré parfait?

Q1) Je montre que pour n = ( 1 + 6k )² , et k ≥ 1, il existe n entiers consécutifs tels que la somme de leurs carrés soit un carré parfait = y².

(n-1)/2 = 18k² + 6k

Si x est le terme central, la somme des carrés est :

S = x² + (x+1)² + (x-1)² + … + (x + 18k² + 6k )² + (x - 18k² + 6k )² S = ( 1 + 6k )² x² + 2 ( 1² + 2² + .. + (18k² + 6k)² )

S = ( 1 + 6k )² x² + ( 18k² + 6k )( 18k² + 6k + 1 )( 1+ 6k²)/3 = y² S = ( 1 + 6k )² x² + ( 6k² + 2k )( 18k² + 6k + 1 )( 1+ 6k)² = y² x² + ( 6k² + 2k )( 18k² + 6k + 1 ) = [ y/(1+6k)]²

( 6k² + 2k )( 18k² + 6k + 1 ) = [ y/(1+6k)]² - x²

6k² + 2k est toujours multiple de 4 , 3k² + k est toujours pair.

6k² + 2k = [ 3k²+k

2 + 1 ]² - [ ^3k²⁺^k

2 - 1 ]² . ( 6k² + 2k )( 18k² + 6k + 1 ) ={ 3k²+k

2 ( 18k² +6k+1 )+1 }² - { 3k²+k

2 ( 18k² +6k+1 )-1}² y = { ^3k²⁺^k

2 ( 18k² + 6k + 1 ) + 1 } (1+6k ) x = ^3k²⁺^k

2 ( 18k² + 6k + 1 ) - 1 Clairement, si A= 3k²+k

2 , B= 18k² + 6k + 1 et C= 1+6k, x = AB-1 et y = (AB+1)C Cette solution n'est acceptable que si x > (n-1) /2, ce qui est vrai pour tout k ≥ 1

A titre de vérification, pour k=1, n= 49, (n-1)/2 = 24, x=49, y = 357 comme dans le 1er épisode A558 de La Saga de la somme des carrés.

Conclusion de Q1 : il existe une infinité d'entiers n tels que la somme des carrés de n entiers consécutifs soit un carré parfait.

Q2) Entiers n tels que la somme des carrés de n entiers consécutifs ne soit jamais un carré parfait?

Soit x le terme central, n = 2k+1 le nombre de carrés consécutifs, S leur somme.

S = (x-k)²+(x-k+1)²+...+(x-1)²+x²+(x+1)²+..+(x+k-1)²+(x+k)²

S = (2k+1).x² + 2[1²+2²+..+k²] = (2k+1).x² + [k.(k+1).(2k+1)]/3 = y²

Mais choisissons n = 2k+1 = 61^h, avec la condition supplémentaire h impair.

k = (n -1)/2 = (61^h – 1)/2 , k +1 = (61^h + 1)/2 , 2k+1 = 61^h, on étudie l'équation : 61^h x² + ( 61^h−1

2 . 61

h+1

2 . 61^h )/3 = y².

Mais, modulo 31, on a 61 ≡ -1, et pour h impair, 61^h ≡ -1, et ( 61^h−1

2 . 61^h+1

2 .61^h )/3 ≡ 0 Dans Z/31Z l'équation devient - x² = y² , ou x²+y² = 0, mais 31 est un nombre premier de la forme 4p+3 et n'est pas somme de 2 carrés. L'équation n'a pas de solution.

Il y a une infinité de nombres impairs h, une infinité de nombres n = 61^h, tels que la somme des carrés de n entiers consécutifs ne soit jamais un carré parfait

Annexe : Je trouve que, pour n entier impair, de 3 à 101, il n'existe aucune suite de n nombres

(2)

consécutifs dont la somme des carrés soit un carré sauf si n appartient à {11,23,25,33,47,49,59,73,97}, les cas favorables sont plutôt l'exception.