D275. La saga des deux carrés (1er épisode)

D275. La saga des deux carrés (1er épisode) Problème proposé par Dominique Roux

On part de deux carrés ABCD et AB'C'D' de centres O et O', orientés dans le même sens.

On construit les milieux B" et D" de BB' et DD' ainsi que les milieux E et F de BD' et DB'.

1) Montrer que les 3 segments OO', B"D", EF ont le même milieu G.

2) Montrer que OEO'F est un carré de centre G.

3) A quelle condition sur (ABB') la somme des aires des carrés ABCD et AB'C'D' est-elle égale à 4 fois l'aire de OEO'F ?

4) A quelle condition sur (ABB') les 4 points O, O', B", D" sont-ils alignés ? Solution proposée par Maurice Bauval

1) Les points seront repérés par leurs affixes complexes. L'origine est au milieu G de OO' . Les affixes de O et O' sont désignées par ω et -ω.

L'affixe de A est désignée tantôt par ω+a , tantôt par -ω+a', c'est dire que a'-a = 2ω.

Les autres points ont pour affixes : B(ω+ia),C(ω-a),D(ω-ia),B'(-ω+ia'),C'(-ω-a'),D'(-ω-ia').

B'' milieu de BB' a pour affixe ((a+a').i/2), et D''(-(a+a').i/2), affixe(B'')+affixe(D'')=0, le milieu de B''D'' est donc bien à l'origine G du repère.

E milieu de BD' a pour affixe ((a-a').i/2), et F((-a+a').i/2) de même le milieu de EF est bien à l'origine G du repère.

Donc les 3 segments OO', B"D", EF ont le même milieu.

2) La relation a'-a = 2ω permet d'écrire les affixes de E et F en fonction de ω : E(- ωi) , F ( ωi) La rotation de centre G , d'angle 90° transforme donc O en F, F en O', O' en E, et E en O. Le quadrilatère OFO'E est donc un carré de centre G

3)Les aires des carrés ABCD, AB'C'D' et OEO'F sont AB², AB'², OO'²/2.

La relation demandée est AB² + AB'² = 2.OO'².

L'affixe de B'B est, (ω+ia) - (-ω+ia') = 2ω + i.(a-a') = 2ω.(1-i), celle de O'O est 2ω, le module de (1-i) est √2, donc B'B = √2. OO', 2.OO'² = BB'² . La condition devient AB² + AB'² = BB'².

La somme des aires des carrés ABCD et AB'C'D' est-elle égale à 4 fois l'aire de OEO'F si et seulement si le triangle ABB' est rectangle en A.

4) Les 4 points OO'B''D'' sont alignés si et seulement si les affixes de B'' et O ont le même argument, à 180° près, soit arg((a+a')i) = arg(ω). a et a' sont les affixes des vecteurs OA et O'A, a+a' est l'affixe du vecteur 2.GA. La condition arg((a+a')i) = arg(ω) équivaut à GA ┴ OO', ou encore OAO' est un triangle isocèle, OA = O'A, mais comme AB= OA.√2, et AB'=

O'A.√2, les conditions OA= O'A et AB = AB' sont équivalentes. Les 4 points O, O', B", D"

sont alignés si et seulement si le triangle BAB' est isocèle de sommet A.