A4900 - Sommes de carrés sous contrainte (1er épisode)

A4900 - Sommes de carrés sous contrainte (1er épisode)

Problème proposé par Jacques Boudier Contexte

On a la relation r q_{1 1} 2r q_{2 2}

2 2 2

1 1

r q c et r₂²q₂² c²

2, 2,

r q c sont des entiers positifs distincts,

Question : r q₁, ₁ sont ils des entiers positifs distincts?

Dito quand c est irrationnel et c² un entier ?

Solution proposée par l'auteur Contexte

2 2

1 1

r q C et r₂²q₂²C

2, 2,

r q C sont des entiers positifs,

Question : r q₁, ₁ sont ils des entiers positifs ?

Pour traiter ce problème, on va s’aider des relations trigonométriques en posant : cos r1

a C , sin r¹

a C , cos r²

b C , sin r² b C

1 1 22 2

r q  r q s’écrit

   

sin 2a 2sin 2b

Envisageons tout d’abord le cas de triplets pythagoriciens où : cos r1

a c

en partant d’un pythagoricien primitif en prenant m > 0, n > 0 tel que :

2 2

2 2

cos( ) m n

b m n

 



2 2

sin( ) 2mn b  m n



tel que

   

^{   }

 

2 2

2 2

2 2

2 2 2

cos( ) sin( ) m n 2mn 1

b b

m n

 

  



 

 

2 2

2 2 2

sin(2 ) 22mn m n b

m n

 



 

 

2 2

2 2 2

sin(2 ) 42mn m n a

m n

 



 



²



₂^{2 2}

 

₂



^{2 2}



⁴

 

^{2 2}

 

²

2 2 2 2

2 1

cos(2 ) 1 4 mn m n 8

a m n mn m n

m n m n

  

        

Analysons la partie sous racine

usant de _{4m n}^{2 2} _



_m²_n²

 

²_{ m}²_n²



²

           

           

4 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

8 16 4

16

m n mn m n m n m n m n

m n m n m n m n

      

      

ou

m²n²⁴



8mn m ²n²



² ^m²n^2416^m²n^{2 2} m²n^2216^m²n^24 la partie sous racine serait un carré parfait si nous avions :



m²n²



⁴8



m²n²

 

² m²n²



²16



m²n²



⁴ 



m²n²



²4



m²n²



²², ce qui n’est pas le cas.

Or la racine d’un nombre qui n’est pas un carré parfait est irrationnelle.

Donc cos(2a) est irrationnel et par voix de conséquence,   _{1 cos 2} 

sin 2

a   a ,

  _{1 cos 2} 

cos 2

a   a , sont irrationnels. Et comme par hypothèse, r₁²q₁² c² où c est entier, r₁ et q₁ sont irrationnels ; ils ne peuvent être des entiers.

Ce raisonnement est extrapolable à un triplet non primitif (m et n sont alors multipliés par un multiplicatif commun) .

Question : qu’en est il quand r et q n’appartiennent pas à un triplet pythagoricien ?

2 2

2 2

r q C et cos r² b

C

 , sin q² b

C

 . C est la racine carrée d’un nombre qui n’est pas un carré parfait ; C est irrationnelle. sinb et cosb sont irrationnels.

   



2 2



sin 2a 2sin 2b 4 1 r q

  C est rationnel et :

 



 



²



^{ }



²



^{ }



^{2 1 2} ₂² ₂²

cos 2a 1 sin 2a 1 16 sin b cos b C 16r q

    C 

2 2 2

2 2

16

C  r q est la différence de deux entiers au carré, c'est-à-dire de deux carrés ; mais ce n’est pas un carré parfait puisque :

 

²

2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

16 16 2 16 14

C  r q  r q  r q r q  r q  r q r q  r q ,

alors qu’un carré aurait été écrit



r2²q2²



² r2⁴q2⁴2r q2² 2²

ou, autrement dit,

que l’on ait



r2²q2²



²4r q2² 2² au lieu de



r2²q2²



²16r q2² 2² puisque



r2²q2²



²4r q2² 2² 



r2² q2²



²

ce qui ne se présente pas.

Donc la racine carrée correspondante est irrationnelle (*) C étant un entier, _{cos 2a}  est irrationnel.

On en déduit que   1 cos 2  ₁

sin 2

a q

a C

   et   1 cos 2  ₁

cos 2

a r

a C

   sont

irrationnels ;

cependant leur produit est rationnel puisque

  ^{1 1}  



2 2



sin 2 2r q 2sin 2 4 1

a b r q

C C

    .

Mais on ne peut pas en déduire directement la nature de r₁ et q₁… Examinons nos résultats : voir le tableau ci-dessous

ce résumé met en évidence l’anomalie suivante : si r₁ et q₁ étaient entiers, cos(2a) devrait être rationnel car :

 



 



²



^{ }



²



^{ }



²

2 2

2 2 4 4 2 2 1 1

1 1 1 1 1 1 1

cos 2 1 sin 2 1 4 sin cos

1 1

4 2

a a a a

r q

C r q r q r q

C C C

   

      

Pour mémoire, rappelons que C est un entier.

Si cos(2a) est irrationnel comme on l’a montré auparavant, il faut que r₁ ou q₁ ou les deux soient irrationnels.

Et comme sin 2a  est rationnel, c'est-à-dire le produit sin 2  2r q^{1 1}

a  C , il faut que les deux nombres r₁ et q₁ soient irrationnels à la fois afin que leur produit soit rationnel.

(*) Nota : Intéressons nous à savoir si C²16r q₂² ₂² pourrait être un entier.

Pour cela, analysons une racine du type (a²b^{2 2}) 16a b^{2 2} Contexte : a et b entiers positifs distincts

Question : (a² b^{2 2}) 16a b^{2 2} entier positif ?

résumé sin(a) cos(a) sin(2a) cos(2a) sin(b) cos(b) sin(2b) cos(2b)

rationnel * * *

irrationnel * * * * *

Pour cela, a et b seraient solutions, en nombres entiers positifs, d’une équation du second degré de discriminant (a²b^{2 2}) 16a b^{2 2} , soit:

  

x^{2 2} a²b²



x² 4a b^{2 2} 



x²²a²

 

x²²b²



0 Où ²a²²b²a²b² et  ² ² 4, soit : ^{2 2} 4₂ ^{2 2 2}

a b a b

 ^ ^{  ou}



²



^{2 2}

2

1 a 1 4 b

 

 

   

Soit l’équation du second degré :



^{2 2 2}



^{2 2}

2

4 0

x  a x b



 

    avec

 

2

2 2

2 2

4 1

a  b

 

 

 x doit être un entier, ce qui impose ² 4 ou  2.

Cela montre que la recherche d’un nombre entier pour C²16r q₂² ₂² ne peut s’obtenir avec les nombres initiaux a et b.

Pour mémoire, on cherche a et b nombres entiers.

Il faut donc _{ }²



²_{ 1}



_k



_²_4



. C'est à dire ⁴ _{1 k}²_4k ₀, soit

   ²

2 1 1 16

2

k k k

  ^{   }

 entier implique,

k doit être entier ( pour k rationnel voir (&))

1k²16k q entier (tel que 1k²16k q²)

 

2 1

2 k q

  ^{ } ,

dont la seule solution est pour k = 20, q = 11 et  = 4, soit 20a² b² et

2 2 2 2 2

(a b ) 16a b 11b

On a donc pour cette solution : b2 5a ; les nombres a et b sont liés par une relation irrationnelle : ils ne peuvent être simultanément des entiers.

Montrons que cette solution est unique. Supposons qu’il en existe une autre pour k supérieur à 20 (le calcul montre qu’il n’y en a pas pour les valeurs inférieures), k = 20 + m (m > 0) soit

   ²      ²

2 21 21 16 20 21 11 4

2 2

m m m m m m

  ^{    }  ^{   }

 entier implique, m doit être entier

11m²4m n entier

 

2 21

2 m n

  ^{ }

Le point essentiel est d’essayer de montrer que _11m²_4mn² analysons cette égalité.

Considérons d’abord l’égalité pythagoricienne en posant m = p²



11 p²



²4p² n²

posant, r,q entiers positifs ,



11p²

 

²  r²q²



² qui induit 4p² 4r q^{2 2} , qui permettrait que n² 



r²q²



²

soit prq et 11r q^{2 2} r² q² et ^r2



^{q2 1}



^{q2 11}

q = 1 impossible (car 1 11 n’a pas de sens) et ^r2



^{q2 1}



^q20 incompatible avec -11 l’égalité pythagoricienne est donc impossible Envisageons le cas général où _11m²_n² _4m

Exprimons les plus petits écarts entre 11m² et n²

11m n = m =

_11m _11m 0

_11m _10m 10 ,5

11m 9m néant

11m 8m négatif

_11m <_8m négatif

m devant être un entier positif, on voit qu’aucune solution ne se dégage.

Il n’est donc pas possible de trouver une autre solution. La solution indiquée est bien unique.

Notre hypothèse « a et b entiers positifs » ne tient pas. Donc C²16r q₂² ₂² ne peut être entière avec r₂ et q₂ entiers.

(&) k rationnel supposons k rationnel,

2 2

k b

a . Il vient :

   

   

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

1 1 16

1 1 16 16

2 2 2

b b b

k k k a a a a b a b a b

 a

   

   

   

            

  

On cherche



a²b²



² 16 a b^{2 2} m² avec m,a,b entier.

avec k rationnel, l’expression _1k²_16k qui n’était pas homogène en k, devient homogène en niveau de puissance :



_a²_b²



² _{ 16 a b}^{2 2}_.

Or cette expression serait un carré parfait si l’on avait



_a²_b²



²_{ 4 a b}^{2 2} _



_a²_b²



² _m²

Ce qui n’est pas. Donc m , racine carré d’un nombre qui n’est pas un carré parfait, ne peut être entier.

Ce que l’on peut appuyer par une descente vers l’infini…des trois carrés,

_a²_b²²_{;16a b m}^{2 2}_; ² _; si cette relation avait du sens.



a²b²



²m²  16 a b^{2 2}implique



a²b²



²m² 0 mod16 soit (1)



_a²_b²



_{0 mod 4 et m0mod 4}



_a²_b²



_{0 mod 4} implique a b², ²0 mod 4

On peut donc diviser



a²b²



et m² par deux, soit 2



a'²b'²

 

 a²b²



et

2 2

2 'm m ainsi que a b^{2 2}, 2 'a b² '²a b^{2 2}

On peut donc écrire en divisant par deux la relation initiale



_a²_b²



²_m² _{ 16 a b}^{2 2}_,



a'²b'²



²m'²  16 a b'² '²

Ce qui reproduit la relation initiale. C’est une descente vers l’infini qui montre l’impossibilité de la proposition initiale.

soit (2)



_a²_b²



_{0 mod 5 et m0 mod 3}

- Ce qui réduit d’abord la relation à 5² 3² 16

Or on ne peut pas avoir à la fois



_a²_b²



_{5 et a b}^{2 2} _1 en nombres a et b entiers.

- Ce qui se réduit à 5²Q a b( , ) 3 ²Q a b( , ) 16 ( , ) Q a b , c'est-à-dire



a²b²



5 Q a b( , ) 2 3 Q(2,3) ou 1 4   Q(1, 4)

 

2 2 2 2

2 3 (2,3) contradictoire avec (2,3)

a   b Q a  b Q

 

2 2 2 2

1 4 (1, 4) contradictoire avec (1, 4)

a   b Q a  b Q

- Ce qui réduit encore la relation à

   

5^{2 p}  3^{2 p} 16a b^{2 2}

   5^{2 p}  3^{2 p} 



   5²  3²



P_p1(5 , 3 )^{2 2} 16P_p1(5 , 3 )^{2 2}



a²b²



5 soit



2² 3²



5 a et b sont irrationnels

soit ₁²_2²_5 a et b incompatibles avec P_p1(5 ,3 )^{2 2}