D277 – La saga des deux carrés (2ème épisode) Problème proposé par Dominique Roux
On part de deux carrés ABCD et AB'C'D' de centres O et O', orientés dans le même sens.
On construit le milieu G de OO’, les milieux B" et D" de BB' et DD' ainsi que les milieux E et F de BD' et DB'.
On suppose que le carré AB'C'D' est fixe et que la taille du carré ABCD varie mais que chacun de ses côtés garde une direction fixe.
1) Quel est le lieu du point G ?
2) Quelle est l'enveloppe de la droite (EF) ? 3) Quelle est l'enveloppe de la droite (B"D") ? Solution par Patrick Gordon
Q1
O' est fixe et O décrit la droite AC. Le lieu de G est donc l'homothétique (O',1/2) de la droite AC.
Q2
E décrit l'homothétique (D',1/2) de la droite AB.
F décrit l'homothétique (B',1/2) de la droite AD.
Ces deux droites sont figurées en rouge sur la figure. Notons leur point d'intersection.
Si l'on note a l'angle BAB' = DAD', q et q' les côtés des carrés respectifs et que l'on prenne les deux droites rouges comme axes x et y (x parallèle à AB), l'abscisse x de E et l'ordonnée y de F sont :
x = ½ (q – q' sina – q' cosa) y = ½ (q + q' sina – q' cosa).
Posons :
u = – q'/2 (sina + cosa) v = q'/2 (sina – cosa) t = q/2
Avec ces notations (u et v sont des constantes, t est un paramètre), l'équation de la droite EF dans le repère xy est :
x / (u+t) = y / (v+t) = 1.
En dérivant cette équation par rapport à t et éliminant ce paramètre entre les deux équations ainsi trouvées, on obtient l'équation de l'enveloppe de EF :
(x+y)² + 2(v–u) (x–y) + (v–u)² = 0 Reste à remplacer u et v par leurs expressions.
Il vient :
(x+y)² + 2 q'sina (x–y) + q'² sin²a = 0 Posant :
X = x+y Y = y–x,
on a l'équation d'une parabole : Y = X² /2 q'sina + q'/2 sina.
L'axe de symétrie de cette parabole est X = 0, donc parallèle à BD et sa directrice et sa tangente au sommet sont parallèles à AC.
Son sommet (soit S) est au point :
Y = y–x = q'/2 sina X = x+y = 0 soit :
x = – q'/4 sina y = q'/4 sina
Ce sont là les coordonnées de S dans le repère de centre .
Par ailleurs, dans ce même repère de centre , on établit aisément que les coordonnées de O' sont :
x = – q'/2 sina y = q'/2 sina
On voit donc que S est au milieu de O'. En particulier, la distance SO' vaut q'/2√2 sina.
Revenant à l'équation de la parabole : Y = X² /2 q'sina + q'/2 sina.
on remarque que la distance du foyer à la tangente au sommet est Y = q'/2 sina. Mais, en coordonnées X,Y, l'unité de longueur est celle des coordonnées x,y multipliée par √2 et donc :
le foyer de cette parabole n'est autre que O'.
Quant à la directrice de cette parabole, symétrique du foyer par rapport à la tangente au sommet d'équation Y = q'/2 sina, elle a pour équation Y = 0, soit encore y – x = 0, dans le repère de centre , et de même dans le repère de centre A, puisque les coordonnées de y sont égales. La directrice passe donc par A et, comme on a vu qu'elle est parallèle, à AC :
la directrice de cette parabole n'est autre que AC.
Q3
B" décrit l'homothétique (B',1/2) de la droite AB.
D" décrit l'homothétique (D',1/2) de la droite AD.
Ces deux droites sont figurées en vert sur la figure. Notons ' leur point d'intersection. Ses coordonnées dans le repère de centre A sont :
x = – q'/2 sin a y = q'/2 sin a
Si l'on note toujours a l'angle BAB' = DAD', q et q' les côtés des carrés respectifs et que l'on prenne les deux droites vertes comme axes 'x et 'y ('x parallèle à AB), l'abscisse x de B"
et l'ordonnée y de D" sont :
x = ½ (q + q' sina + q' cosa) y = ½ (q – q' sina + q' cosa).
Posons :
u' = q'/2 (sina + cosa) v' = – q'/2 (sina – cosa) t = q/2
Avec ces notations (u' et v' sont des constantes, t est un paramètre), on obtient formellement la même équation que ci-dessus pour la droite B"D" dans le repère xy, à savoir :
x / (u'+t) = y / (v'+t) = 1.
En dérivant cette équation par rapport à t et éliminant ce paramètre entre les deux équations ainsi trouvées, on obtient, comme ci-dessus, l'équation de l'enveloppe de B"D" :
(x+y)² + 2(v'–u') (x–y) + (v'–u')² = 0 Reste à remplacer u' et v' par leurs expressions.
Il vient :
(x+y)² – 2 q'sina (x–y) + q'² sin²a = 0 Posant :
X = x+y Y = y–x,
on a l'équation d'une parabole : Y = – X² / 2 q'sina – q'/2 sina.
Son sommet S' est au point :
Y = y–x = – q'/2 sina X = x+y = 0
soit :
x = q'/4 sin a y = – q'/4 sin a
Quant à son axe de symétrie, il est parallèle à BD.
Ce sont là les coordonnées de S' dans le repère de centre '.
Par ailleurs, dans ce même repère de centre ', on a vu que les coordonnées de A sont :
x = q'/2 sina y = – q'/2 sina
On voit donc que S' est au milieu de 'A. Comme ci-dessus, la distance du foyer à la tangente au sommet, est Y = q'/2 sina (ou mieux : Y = – q'/2 sina, algébriquement). En raisonnant comme à la question 2, on établit que :
le foyer de cette seconde parabole n'est autre que A.
Quant à la directrice de cette parabole, symétrique du foyer par rapport à la tangente au sommet d'équation Y = – q'/2 sina, elle a, comme ci-dessus, pour équation Y = 0, soit encore y – x = 0, dans le repère de centre ', mais cette fois, elle pour équation, dans le repère de centre A :
y – x = q' sina
puisque les coordonnées de ' dans le repère de centre A sont :
x = – q'/2 sin a y = q'/2 sin a
Or on établit aisément que les coordonnées de O' dans le repère de centre A sont :
x = q'/2 (cosa – sina) y = q'/2 (cosa + sina)
O' satisfait donc l'équation y – x = q' sina et par conséquent :
la directrice de cette seconde parabole est la parallèle menée par O' à AC.
On remarquera que les directrices des deux paraboles sont parallèles et que, "à mi-chemin entre les deux", se situe la tangente aux sommets commune, qui n'est autre que le lieu de G, visé la question 1.
