On considère deux sommets voisins A et B de l’enveloppe convexe des 2021 points . Comme trois points de cet ensemble E ne sont jamais alignés , on peut trouver un point O de la médiatrice de [AB] tel que le disque (D) de centre O passant par A etB contienne entièrement E .
En déplaçant continûment le pointO dans le sens de la flèche , on va extraire de D un à un les points de E . Comme quatre points de E ne sont jamais cocycliques , l’extraction se fera toujours en passant par un cercle contenant trois points deE . A un moment le disque ne contiendra plus aucun point de E mais avant cette extême il y aura eu un moment où il y avait 1012 points dans le disque dont exactement trois sur le cercle et les 1009 autres dehors.
Remarque : le résultat se généralise sans problème pour tout nombre impair de points ( supérieur à1) . On peut d’ailleurs montrer que pour2n+1points il y a exactement n2 cercles répondant au problème .
