Licence, Analyse Complexe 2007
Applications conformes.
Dans les exercice suivants, on noteD=D(0,1) le disque unit´e deC.
Exercice 1. Aut(D) est un groupe qui d´epend de trois param`etres r´eels:
(1) Montrer qu’il existe un unique automorphisme f du disque unit´eD tel quef(z0) = 0 et Argf(0) =θ, avecz0∈D et θ∈[−π, π[.
(2) Montrer qu’une application (holomorphe) du disque unit´e dans lui mˆeme ayant deux points fixes distincts est l’identit´e.
Exercice 2. D´eterminer le groupe d’automorphismes d’un disque priv´e d’un point, d’un disque priv´e de deux points.
Exercice 3.
(1) Soit f : D → D une application holomorphe. Montrer que |f(z)−f(w)
1−f(z)f(w)| ≤ | z−w 1−wz¯ |. Discuter le cas d’´egalit´e en une paire de points (z, w).
(2) Soit f :D(0, R)→D(0, M) alors|f(z)−f(w)
z−w | ≤ 2M R
|R2−wz|¯ . Exercice 4. Transformation de Cayley.
Montrer quec:D→H ={z∈C, Im(z)>0},z→i1 +z
1−z est un isomorphisme. Calculer son inverse.
Exercice 5. Trouver les isomorphismes conformes de Ω = {|z| < 1,Im(z) > 0} sur {Im(z)>0}.
Exercice 6. Homographies. On noteTb : z → z+b la translation de vecteur b ∈ C, J :z→ 1
z l’inversion par rapport au cercleC(0,1) etMa:z→azl’homothetie (complexe) de rapporta∈C∗.
(1) Montrer que si F est une homographie alors ∃α, β, γ ∈ C tels que F(z) = αz +β ou F =Tγ◦Mα◦J◦Tβ.
(2) En d´eduire q’une homographie transforme les droites et cercles en les droites et cercles.
(3) Montrer que si F est une homographie qui a trois points fixes distincts alors F = Id.
En d´eduire qu’une homographie est uniquement d´etermin´ee par l’image de trois points distincts.
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