DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Exercice 1 : Partition du disque unit´ e en parties isom´ etriques
Dans cet exercice, on identifie l’ensembleCdes nombres complexes au plan euclidienP =R2 rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e (O,~i,~j). On appelle isom´etrie du plan une bijection ϕdeP dans lui-mˆeme, conservant les distances,i.e.telle que :
∀M, M0 ∈ P, ϕ(M)ϕ(M0) =M M0 On noteI leur ensemble.
On consid`ere le disque unit´e ferm´eD={x∈C,|x|61}. Nous allons d´emontrer par l’absurde qu’il n’existe pas deux partiesA etB deD telles que :
1. D=A∪B; 2. A∩B=∅; 3. ∃τ ∈ I, τ(A) =B; 4. O∈A.
On suppose donc qu’il existe deux telles partiesAetB deD (et une telle isom´etrieτ).
1Montrer queτ−1est une isom´etrie.
2Montrer que si deux pointsxety deD v´erifient |x−y|= 2, alors leur milieu estO.
3Montrer que pourw∈D, la condition|w−τ(0)|>1 entraˆınew∈A(on pourra raisonner par contraposi- tion).
4En d´eduire l’existence d’un diam`etre [u, v] deD `a extr´emit´esu, v dansA.
5Relever une contradiction.
