Exercice 1. (5 pts) Soit D le disque de rayon R centr´ e en l’origine. Calculer

M33 Compl´ ements d’int´ egration, S3 2011-2012 Interrogation ´ Ecrite III, 13 d´ ecembre 2011

Dur´ ee 45 minutes

Le barˆ eme a ´ et´ e ajust´ e l´ eg` erement par rapport ` a ce qui ´ etait ´ ecrit sur l’´ enonc´ e original.

Exercice 1. (5 pts) Soit D le disque de rayon R centr´ e en l’origine. Calculer

R R

D x ² exp(−(x ² + y ² ))dxdy.

Solution: Les coordonn´ ees polaires s’imposent naturellement. On a

Z Z

D

x ² exp(−(x ² + y ² ))dxdy =

Z R 0

Z 2π 0

ρ ² cos ² ϕ exp(−ρ ² ) ρdρdϕ.

=

Z 2π 0

cos ² ϕ dϕ

Z R 0

ρ ³ exp(−ρ ² )dρ.

Comme cos ² ϕ = ¹ ₂ (1 + cos(2ϕ)), on trouve ^R ₀ ^2π cos ² ϕ dϕ = π. Par ailleurs, en posant ρ ² = u, on a, avec une int´ egration par parties,

Z R 0

ρ ³ exp(−ρ ² )dρ = 1 2

Z R

0

u exp(−u)du

= 1

2 [−u exp(−u)] ^R ₀

+ 1 2

Z R

0

exp(−u) du

= 1

2 (−R ² exp(−R ² )) − 1

2 [exp(−u)] ^R ₀

= 1

2

h 1 − exp(−R ² )(1 + R ² ) ⁱ .

Finalement

Z Z

D

x ² exp(−(x ² + y ² ))dxdy = π 2

h 1 − exp(−R ² )(1 + R ² ) ⁱ .

Exercice 2. (3 pts) Calculer le volume de la r´ egion de l’espace d´ efinie par 0 ≤ x ² + y ² ≤ R ² , 0 ≤ z ≤ R ² − (x ² + y ² ).

Solution: Il est toujours utile de visualiser la r´ egion dont il est question.

Ici, il s’agit de la r´ egion sous la parabolo¨ıde d’´ equation z = R ² − (x ² + y ² ), et au dessus du plan 0xy. L’intersection de la parabolo¨ıde avec ce plan est le cercle d’´ equation x ² + y ² = R ² . Un dessin est bien sˆ ur utile... On a vu que le volume d’une r´ egion sous le graphe d’une fonction positive z = f(x, y), et au dessus d’un domaine D s’obtient en calculant:

V =

Z

D

f(x, y) dxdy.

Ici donc, il faut calculer

V =

Z

D

(R ² − (x ² + y ² ))dxdy =

Z 2π 0

Z R 0

(R ² − ρ ² )ρdρdϕ = . . . = πR ⁴ 2 o` u on est pass´ e naturellement en coordonn´ ees polaires.

Remarque: Nulle besoin dans ce cas-ci, de faire une int´ egrale triple... Cela

semble en ´ etonner certains. Mais vous avez bien calcul´ e des aires en calculant

des int´ egrales simples, alors pourquoi ne pourrait-on pas calculer certains

volumes en calculant des int´ egrales doubles? Ceci dit, il est instructif de

calculer le volume de cet exercice en effectuant une int´ egrale triple et de

comparer les m´ ethodes. . . .

Exercice 3. (4 pts) Calculer ^{R R} _D x ² cos(x ² y)dxdy o` u D est la r´ egion d´ etermin´ ee par les in´ egalit´ es 0 ≤ x, 0 ≤ x ² y ≤ 1, ¹ ₄ ≤ y ≤ 1, que l’on tracera.

Indication: Il est recommand´ e de faire d’abord une int´ egrale en y, puis en x.

Solution: D’abord la figure: D est hachur´ e.

x2 y

x y= 1/

y=1

y=1/4

2

Z Z

D

x ² cos(x ² y)dxdy =

Z 1 0

Z 1 1/4

x ² cos(x ² y)dydx +

Z 2 1

Z 1/x

1/4

x ² cos(x ² y)dydx

=

Z 1 0

h sin(x ² y) ^{i y=1}

y=1/4 dx +

Z 2 1

h sin(x ² y) ^{i y=1/x}

2

y=1/4 dx

=

Z 1 0

sin(x ² ) dx −

Z 1 0

sin( x ² 4 ) +

Z 2 1

sin(1) dx −

Z 2 1

sin( x ² 4 ) dx

= sin(1) +

Z 1 0

sin(x ² ) dx −

Z 2 0

sin( x ² 4 ) dx

Les int´ egrales qui restent ne peuvent pas ˆ etre calcul´ ees de fa¸con plus ex- plicite...

L’´ enonc´ e aurait dˆ u demander de calculer la mˆ eme int´ egrale sur le domaine

D d´ etermin´ e par les in´ egalit´ es 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ x ² y ≤ 1. Le calcul se fait alors

jusqu’au bout.