D1910 – Deux sommets confondus [** à la main] On considère trois triangles isocèles de même base BC et de sommets A1

D1910 – Deux sommets confondus [** à la main]

On considère trois triangles isocèles de même base BC et de sommets A1,A2 et A3 situés du même côté par rapport à BC.

Dans le triangle A1BC, on trace le point D sur le côté A1B tel que l’angle BCD est de 15° et 6AD² = BC².

Dans le triangle A2BC, la bissectrice intérieure de l’angle en C coupe A2B en E de sorte que A₂E + EC = BC.

Dans le triangle A3BC,on trace les points F et G respectivement sur A3B et A3C de sorte que BF + CG = FG. La parallèle à A3C passant par le milieu H de FG coupe BC en un point I. Le cercle circonscrit au triangle FIG passe par A₃.

Démontrer que deux des trois points A1,A2 et A3 sont confondus.

A1) Avec un repère convenable, les coordonnées de B et C sont (-1,0) et (+1,0), La médiatrice de BC est la droite x=0. Unicité du point A1 :Soit K le point défini par x=0 et y =tan(15°).

Quand l'ordonnée de A croit depuis tan(15°) jusqu'à +∞, la longueur du segment AD varie en croissant continuement de 0 à +∞, et le point A1 tel que A1D = √(2/3) est donc unique.

Si le triangle BA1C est rectangle isocèle, angle A1CD = 45° – 15° = 30°, A1D = A1C.tan(30°) = BC. Cos(45°).tan(30°) = BC / √6 et on a 6A1D² = BC².

Le point A1 tel que 6A1D² = BC² existe et est unique, c'est le sommet du triangle rectangle isocèle BA1C

A2) Le point A2 est il confondu avec A1? Calculons A1E + EC.

Les trois angles du triangle A1CE valent A1=90°, C=22,5°, E=67,5°, or A1C = √2 . (A1 E)

(sin22,5°) = EC =

√

(sin67,5°) = (A1 E+EC) (1+sin22,5°)

Donc A1E + EC = √2 .(1+sin 22,5°) / (sin 67,5°) = √2 cotan 33,75 ° ≈ 2,1165.

Ce n'est pas égal à BC donc le point A2 n'est pas confondu avec A1 .

A3) Les points F et G étant placés respectivement sur A1B et A1C de sorte que BF + CG = FG, la parallèle à A1C passant par le milieu H de FG coupe BC en un point I, le cercle FIG passe-t-il par A1 ? FIG est-il un angle droit ?

Je choisis maintenant un repère d'origine A1 avec B(1,0) et C(0,1), H(m,p), F(2m,0), G(0,2p) FG = BF + CG = (1 – 2m) + (1 – 2p) = 2.(1 – m – p).

L'abscisse de I est égale à celle de H donc à m, l'équation de la droite BC est x+y=1, les coordonnées de I sont (m, 1 – m), HI = yI – yH = (1 – m) – p = FG/2.

On a bien HF = HG = HI ce qui suffit à prouver que angle FIG = 90°, les quatre points (A1 ,F,I,G) sont cocycliques , le cercle FIG passe par A1 , donc A3 = A1 .

Les points A3 et A1 sont confondus, le point A2 est distinct des deux points précédents.