D1910. Deux sommets confondus

D1910. Deux sommets confondus

On considère trois triangles isocèles de même base BC et de sommets A1,A2 et A3 situés du même côté par rapport à BC.

Dans le triangle A₁BC, on trace le point D sur le côté A₁B tel que l’angle BCD est de 15° et 6AD² = BC².

Dans le triangle A2BC, la bissectrice intérieure de l’angle en C coupe A2B en E de sorte que A₂E + EC = BC.

Dans le triangle A3BC, on trace les points F et G respectivement sur A3B et A3C de sorte que BF + CG = FG. La parallèle à A3C passant par le milieu H de FG coupe BC en un point I. Le cercle circonscrit au triangle FIG passe par A₃.

Démontrer que deux des trois points A1, A2 et A3 sont confondus.

Solution proposée par Jean Nicot On notera  le demi-angle BAC.

Q1- 6A1D² = BC²

Dans le triangle A1CD, en notant  l’angle A1CD, on a :

A1D/sin= AC/sin() ou BC/(√6 sin= (BC/ 2sin) /sin()

- -/12=- d’où √6 sin(5-) = 2 sinsin(5) qui s’annule pour =/4 soit BA1C=90°

Q2- A2E+EC = BC

Dans le triangle A2CE, en notant  le demi -angle A2CE, on a :

A2E/sin = CE/sin2 =BC/(sin + sin2) = A2C/sin(2)= (BC / 2sin/sin()

/2 d’où 2sin sin(/2) = sin(/2) + sin2 qui s’annule pour = 50° soit BA2C=100°.

Q3- BF+CG = FG

Posons BF=x et CG=y et notons  l’angle A3BC ou A3CB

Le milieu M de FG se projette en M’ sur BC. MM’= ¹₂(x+y)sin. MI= MM’/sin =(x+y)/2 = FG/2 = FM = MG M est le centre d’un cercle passant par F,G,I et FG est un diamètre. Quand ce cercle passe par A3 , l’angle FAG est droit et BA3C = 90°

A1 et A3 sont confondus.