tan 15° =2−  3

D1910. Deux sommets confondus **

On considère trois triangles isocèles de même base BC et de sommets A₁,A₂ et A₃ situés du même côté par rapport à BC.

Dans le triangle A₁BC, on trace le point D sur le côté A₁B tel que l’angle BCD est de 15° et 6AD² = BC². Dans le triangle A₂BC, la bissectrice intérieure de l’angle en C coupe A₂B en E de sorte que A E + EC = BC. ₂ Dans le triangle A₃BC,on trace les points F et G respectivement sur A₃B et A₃C de sorte que BF + CG = FG. La parallèle à A₃C passant par le milieu H de FG coupe BC en un point I. Le cercle circonscrit au triangle FIG passe par A .₃

Démontrer que deux des trois points A₁,A₂ et A₃ sont confondus.

Pour A

On remarque que la situation ci-contre vérifie les conditions :

tan 15° =2−  3

⇒ x= −  ³

3 y= 3−  ³

3 AD

= 2

3 BC= 2

et nous avons : 6 ⋅AD

= BC

Pour A

On remarque que la situation ci-contre vérifie les conditions :

Angle en C = 40 °

⇒

A= tan 40 °  ≃ 0,8361

x=

tan 20

−tan  40° 

tan 40

tan  20°  ≃ -0,3946 y ≃ 0,5062

EC ≃ 1,4836 AE ≃ 0,5144 BC = 2

AE  EC =BC

Reste à voir avec quel point A

est confondu.

Pour A

On remarque que la situation ci-contre vérifie les conditions :

BC = 2 AB =  ²

OH =  ²⁻¹

⇒

AH = FH = HG =2−  ²

BF CG= FG

HI =HG = HF = HA=2−  ²

C'est donc A

qui est confondu avec A