D1816 ‒ A la recherche du point commun [**** à la main]
Les médianes d'un triangle ABC se rencontrent au centre de gravité G. On trace les trois cercles respectivement circonscrits aux triangles passant par le milieu du segment joignant un sommet à G et par les pieds des médianes issues des deux autres sommets. Démontrer que ces cercles se coupent en un point commun dont on donnera la construction à la règle et au compas.
Solution proposée par Bernard Vignes
On désigne Ma ,Mb et Mc les milieux des côtés BC,CA et AB et par (Γ) le cercle circonscit au triangle ABC. Soient A',B' et C' les points symétriques de A,B et C par rapport au centre de gravité G.
On a GA' = 2GMa = GA, GB' = 2GMb = GB et GC' = 2GMc = GC. Par la symétrie de centre G le triangle ABC devient ainsi le triangle A'B'C'. Il en résulte que les droites AA',BC' et CB' sont parallèles entre elles de même que les droites BB',AC' et A'C,les droites CC',BA' et B'A, les droites AB et A'B', les droites AC et A'C', enfin les droites BC et B'C'.
Soit Q le point d'intersection des cercles circonscrits aux triangles A'BC' (en pointillés verts) et A'B'C (en pointillés bleus).
On a les relations d'angles:
BQC = A'QC ‒ A'QB = 180° ‒A'B'C ‒A'C'B
BQC = 180° ‒BAA' ‒A'AC = 180° ‒BAC.
Le point Q appartient au cercle (Γ).
De la même manière on démontre que le point à l'intersection du cercle circonscrit au triangle AB'C' et du cercle circonscrit au triangle AB'C' (en pointillés rouges) appartient au cercle (Γ).
Les trois cercles en pointillés verts,bleus, rouges circonscrits respectivement aux triangles A'BC, A'B'C et AB'C' sont concourants au point Q situé sur (Γ).
Par l'homothétie de centre G et de rapport 1/2 ces trois cercles deviennent les trois cercles (vert,bleu et rouge) respectivement circonscrits aux triangles passant par les milieux A",B" et C" des segments joignant les sommets A,B et C à G et par les pieds des médianes issues des deux autres sommets.
Ces cercles sont concourants au point P homothétique du point Q tel que GP = GQ/2.