D2906. Le pentagone cyclophile ****
On prolonge les cinq côtés d'un pentagone convexe ABCDE de manière à former une étoile à cinq branches
AHBKCLDMEN. On trace les cercles circonscrits aux cinq triangles qui forment les branches de l'étoile. Démontrer que les cinq points d'intersection de ces cercles autres que les sommets du pentagone sont cocycliques.
PROPOSITION Th Eveilleau Théorème
Soient quatre droites sécantes deux à deux.
Alors les cercles circonscrits aux quatre triangles formés par les côtés d’un quadrilatère complet sont concourants en un point Q.
Remarque
Q point de concours des quatre cercles circonscrits aux triangles HAB, KBC, KAM et HMC, est le point de Miquel du quadrilatère complet HMCABK.
Les centres des quatre cercles précédents et le point Q, sont situés sur un même cercle appelé cercle de Miquel du quadrilatère complet.
En réitérant ce raisonnement avec les autres triangles, dans les quadrilatères complet autour du pentagone, nous obtenons cinq points de Miquel.
A chaque fois, trois quelconquesdes quatre cercles de chacun des cinq quadrilatères complets, sont concourants. Chacun des cinq points d’intersection du texte, est un point de Miquel d’un quadrilatère complet.
Théorème du sixième cercle
Si ABCDE est un pentagone quelconque.
Si H, K, L, M, N sont les points d'intersection des côtés (EA) et (BC), (AB) et (CD), (BC) et (DE), (CD) et (EA), (DE) et (AB) respectivement, alors les points d'intersection des cinq cercles circonscrits à ABH, BCK, CDL, DEM, EAN sont situés sur un sixième cercle.
Théorème
Les intersections des cercles circonscrits aux triangles externes successifs d’une étoile à cinq braanches sont cocycliques.
Pour une démonstration claire et complète voir ICI http://culturemath.ens.fr/maths/pdf/geometrie/cercles.pdf
