D236 Huit points et rien que des triangles isocèles [*** à la main]
Solution
Dominique Roux, Jean Moreau de Saint Martin et Michel Boulant ont résolu le problème et ont obtenu la représentation suivante dans l’espace à 3 dimensions (le maximum de points dans le plan est 6 avec les cinq sommets d’un pentagone régulier et son centre).
Solution de Jean Moreau de Saint Martin avec extension à l’espace à n dimensions.
Je construis dans un plan deux triangles accolés, OAC1 et OBC1, isocèles rectangles en O.
A ces 4 points j'ajoute C2, C3, C4 et C5 obtenus à partir de C1 en faisant tourner la figure d'angles 72° autour de la droite AOB.
Si je prends un des points Ci et deux points parmi A,O,B, le triangle obtenu est égal (par rotation) à un des triangles OAC1, OBC1, ABC1, tous 3 isocèles.
Si je prends deux des Ci et un des points A,O,B, ce dernier est équidistant de tous les Ci;
Si je prends trois des Ci, les côtés du triangle ne prennent que 2 valeurs (le côté ou la diagonale du pentagone régulier C1C2C3C4C5), et le triangle est isocèle par le principe des tiroirs.
Si les trois points choisis sont A, O et B, ils forment un triangle à deux côtés égaux, mais plat : c'est la seule faiblesse de cette solution.
On peut y échapper dans l'espace à 4 dimensions, où on peut aller jusqu'à 11 points : dans les dimensions 1 et 2, je considère un pentagone régulier de centre O ; dans les dimensions 3 et 4
passant par O, un triangle équilatéral (pour 8 points), un carré (pour 9 points) ou un pentagone régulier (pour 10 points) de centre O chaque fois. En ajoutant le centre O aux 10 sommets de deux pentagones de même taille, j’obtiens 11 points.
Extension à n dimensions : selon les schémas précédents, on a
pour n pair, 1 + 5(n/2) points : O et les sommets de n/2 pentagones utilisant chacun 2 dimensions ;
pour n impair, 3 + 5((n-1)/2) points : O, les sommets de (n-1)/2 pentagones utilisant chacun 2 dimensions, et 2 points symétriques par rapport à O selon la n-ième dimension (ce qui fait un triangle plat !).
Les deux cas étant représentés par la formule : partie entière de (5n+2)/2.
